Discutere un sistema lineare con 2 parametri mediante il teorema di Rouchè-Capelli

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Discutere un sistema lineare con 2 parametri mediante il teorema di Rouchè-Capelli #82824

avt
l.mattia
Punto
Salve ragazzi, non so svolgere questo sistema lineare a 2 parametri con Rouché-Capelli.

La traccia è la seguente: studiare al variare dei parametri a,b\in\mathbb{R} la risolubilità del sistema lineare

\begin{cases}ax+y-z=2-2b\\x+ay+bz=0\end{cases}

e determinare lo spazio delle soluzioni per i valori dei parametri per cui esso è compatibile.

Grazie a tutti in anticipo
 
 

Re: Discutere un sistema lineare con 2 parametri mediante il teorema di Rouchè-Capelli #82828

avt
Ifrit
Ambasciatore
Iniziamo col costruire la matrice incompleta A e quella completa (A|b) associata al sistema lineare.

Il sistema ha 2 equazioni e tre incognite, dunque la matrice incompleta sarà una 2\times 3.

A=\begin{pmatrix}a&1&-1\\1&a&b\end{pmatrix}

La matrice completa invece sarà:

(A|b)=\begin{pmatrix}a&1&-1&|&2-2b\\1&a&b&|&0\end{pmatrix}

Dalla teoria sappiamo che il rango della matrice incompleta è minore o al più uguale a quello della matrice completa, ed entrambi i ranghi sono minori o al più uguali al minimo tra il numero di righe e il numero di colonne di A.

\mbox{rank}(A)\le \mbox{rank}(A|b)\le \mbox{min}(n, m)

Nel nostro caso si ha che

\mbox{rank}(A)\le \mbox{rank}(A|b)\le 2

Ricorda inoltre che il teorema di Rouché Capelli assicura l'esistenza delle soluzioni se e solo se il rango della matrice incompleta coincide con il rango della matrice completa.

Calcolo del rango di A

Consideriamo tutti i minori di ordine 2 della matrice A, di cui calcoleremo il loro determinante.

D_1=\mbox{det}\begin{pmatrix}a&1\\1&a\end{pmatrix}=a^2-1

D_2=\mbox{det}\begin{pmatrix}a&1\\-1&b\end{pmatrix}=ab+1

D_3=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&a\\-1&b\end{pmatrix}=b+a

Se riusciamo a determinare a,b tali che siano nulli i tre determinanti allora il rango della matrice A coincide con 1. Per determinarli imporremo un sistema:

\begin{cases}a^2-1=0\\ab+1=0\\ b+a=0\end{cases}

Dalla prima equazione abbiamo che

a^2-1=0\iff a=-1\vee a=1

Per a=-1 il sistema diventerà

\begin{cases}-b+1=0\\ b-1=0\end{cases}\iff b=1

Si ha quindi che se a=-1 e b=1 il rango della matrice A è 1.

Calcoliamo il rango della matrice (A|b) sostituendo tali valori:

(A|b)=\begin{pmatrix}-1&1&-1&|&0\\1&-1&1&|&0\end{pmatrix}

Osserva che la prima riga della matrice (A|b) è combinazione lineare della seconda, pertanto questo assicura che il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice incompleta. Il teorema di Rouché Capelli inoltre ci avverte che il sistema ammette \infty^{2} soluzioni. Consideriamo il caso rimanente ossia a=1.

Per a=1 il sistema

\begin{cases}a^2-1=0\\ab+1=0\\b+a=0\end{cases}

diventerà

\begin{cases}b+1=0\\ b+1=0\end{cases}\implies b=-1

il rango della matrice A risulta essere ancora 1, perché tutti i minori di ordine 2 hanno determinante nullo.

Controlliamo a questo punto il rango della matrice completa, assicurandoci di sostituire i valori a=1,b=-1

(A|b)=\begin{pmatrix}1&1&-1&|&4\\1&1&-1&|&0\end{pmatrix}

Consideriamo il minore costituito dalla prima colonna e dell'ultima colonna della matrice completa

D_4=\mbox{det}\begin{pmatrix}1&4\\1&0\end{pmatrix}=-4\ne 0

Poiché riusciamo a trovare un minore di ordine due con determinante non nullo allora necessariamente \mbox{rank}(A|b)=2 e poiché non coincide con il rango della matrice incompleta, possiamo asserire che per tali valori il sistema è impossibile.

Per tutti gli altri casi cosa succede? Semplice! Per i casi rimanenti il rango della matrice A deve essere necessariamente 2 così come lo è il rango della matrice (A|b). Il teorema di Rouché Capelli ci dice che il sistema ammette infinite alla 1 soluzioni.

Calcolo delle soluzioni, nel caso in cui il sistema sia compatibile

Iniziamo con il primo caso, ossia a=-1\wedge b=1 il sistema di partenza diventerà:

\begin{cases}-x+y-z=0\\ x-y+z=0\end{cases}\implies x-y+z=0

Dunque

z=-x+y

Poniamo x=\alpha, y=\beta, l'insieme delle soluzioni è:

S=\left\{(\alpha,\beta,-\alpha+\beta)\mbox{ con }\alpha, \beta\in \mathbb{R} \right\}.

Volendo puoi decomporre il vettore

(\alpha,\beta,-\alpha+\beta)=\alpha(1, 0, -1)+\beta (0, 1, 1).

Non ci rimane che trovare le soluzioni del sistema nei casi rimanenti. Osservazione: per a\ne \pm 1 il determinante D_1 è certamente diverso da zero, possiamo utilizzare quindi come incognite le x\mbox{ e }y mentre utilizzeremo come parametro l'incognita z, in sostanza scriveremo il sistema iniziale come:

\begin{cases}a x+ y=2-2b+z\\x+a y=-b z\end{cases}

Possiamo far intervenire il metodo di Cramer per determinare le soluzioni in funzione di z.

Prima di tutto calcoliamo il determinante della matrice

A'=\begin{pmatrix}a&1\\ 1&a\end{pmatrix}

\mbox{det}(A')=a^2-1\ne 0\quad\forall a\ne \pm 1

Scriviamo le matrici

\bullet\,\,A_{x}' che è la matrice che si ottiene da A' a cui sostituiremo al posto della prima colonna la colonna dei termini noti.

\bullet\,\,A_{y}' che è la matrice che si ottiene da A' a cui sostituiremo al posto della seconda colonna la colonna dei termini noti.

A_{x}'=\begin{pmatrix}2-2b+z&1\\ -bz&a\end{pmatrix}

A_{y}'=\begin{pmatrix}a&2-2b+z\\ 1&-bz\end{pmatrix}

Si avrà che:

x=\frac{\mbox{det}(A_{x}')}{\mbox{det}(A')}=\frac{(2-2b+z)a+bz}{a^2-1}

y=\frac{\mbox{det}(A_{y}')}{\mbox{det}(A')}=\frac{-abz-2+2b-z}{a^2-1}.
Ringraziano: CarFaby

Re: Discutere un sistema lineare con 2 parametri mediante il teorema di Rouchè-Capelli #82834

avt
l.mattia
Punto
Grazie per la tempestiva risposta e per la chiarezza della spiegazione! emt

Una cosa, i minori devono essere considerati secondo dei criteri specifici?

Re: Discutere un sistema lineare con 2 parametri mediante il teorema di Rouchè-Capelli #82835

avt
Ifrit
Ambasciatore
Considera che in esercizi del genere i minori con determinante non nullo sono quelli più interessanti, il tuo obiettivo è scovarli perché ti danno informazioni sul rango della matrice e ti aiutano nella risoluzione del sistema (con il metodo di Cramer almeno).

Ti invito a leggere le lezioni che ho linkato, troverai moltissime informazioni utili!
Ringraziano: CarFaby

Re: Discutere un sistema lineare con 2 parametri mediante il teorema di Rouchè-Capelli #82836

avt
l.mattia
Punto
Grazie!

L'unica cosa che non riesco a capire (seppur banale) è perché in questo caso ho calcolato tre determinanti.

In un caso generico come faccio a capire quali e quanti minori devo calcolare?

Re: Discutere un sistema lineare con 2 parametri mediante il teorema di Rouchè-Capelli #82870

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mattia,

il punto è che il quanti non puoi saperlo a priori.

Per il quali puoi trovare l'algoritmo da seguire nella lezione sul rango di una matrice, come suggerito da Ifrit.
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
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Os