Equazione integrale che ammette due soluzioni

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Equazione integrale che ammette due soluzioni #82730

avt
mari.mari
Punto
Salve gente! Non riesco a risolvere un'equazione con una funzione integrale, devo dimostrare che la seguente equazione ammette due e solo due soluzioni:

F(x)=1

dove

F\left ( x \right )= \int_{0}^{x^{2}} \frac{e^{t^{2}}}{t^{4} +t^{2}+1}dt

Nessun problema penso io, se non fosse che non riesco a risolvere questo maledetto integrale! Mi date una mano?
 
 

Equazione integrale che ammette due soluzioni #82733

avt
Omega
Amministratore
Lo credo bene che tu non riesca a calcolare l'integrale! emt

L'integrale, o meglio la funzione integrale

F(x)= \int_0^{x^2} \frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt

non può essere espressa in termini di funzioni elementari, il che significa che non puoi scrivere esplicitamente la famiglia di primitive dell'integrale assegnato. In parole povere non puoi calcolarlo.

La traccia dell'esercizio chiede sostanzialmente di effettuare uno studio della funzione integrale y=F(x) e di dimostrare che il suo grafico interseca la retta y=1 in due punti. Questo è proprio il significato grafico dell'equazione

F(x)=1

dove le soluzioni dell'equazione sono le ascisse dei punti di intersezione tra y=F(x) e y=1.


Cerchiamo quindi di dedurre le informazioni che ci servono dallo studio di

F(x)= \int_0^{x^2} \frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt

a partire dal dominio. Osserviamo che l'integranda è definita e continua per qualsiasi t\in\mathbb{R}, e che l'integrale

F(M)= \int_0^{M^2} \frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt

con 0<M<+\infty è chiaramente ben definito. Se consideriamo

\lim_{x\to +\infty} F(x)= \int_0^{+\infty} \frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt

ci troviamo di fronte ad un integrale improprio di prima specie divergente (lo si deduce facilmente considerando il comportamento asintotico dell'integranda).

Poco importa: la funzione integrale è definita per ogni x\in[0,+\infty), e ragionando in modo analogo anche per ogni x\in (-\infty,0), infatti se consideriamo x=-M



F(-M)= \int_0^{M^2} \frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt

]Abbiamo dunque stabilito che il dominio è F(x)=(-\infty,+\infty).


Non è difficile vedere che F(x) è una funzione pari, basta applicare la definizione:

F(-x)= \int_0^{(-x)^2} \frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt= \int_0^{x^2} \frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt=F(x)

per cui avrà grafico simmetrico rispetto all'asse delle ordinate. Questa informazione ci permette di limitare lo studio al semiasse dei reali non negativi [0,+\infty).


]A questo punto dovremmo studiare il segno e i limiti agli estremi. Non servono particolari ragionamenti per desumere che F(x) è non negativa su tutto il proprio dominio (integranda non negativa + parità), mentre i limiti per x\to +\infty li abbiamo già implicitamente calcolati:

\lim_{x\to \pm\infty} F(x)= \int_0^{+\infty} \frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt=+\infty

Non soffermiamoci sulla ricerca di un eventuale asintoto obliquo, è un'informazione che non serve per i nostri scopi.

L'informazione fondamentale, a questo punto, riguarda la monotonia della funzione: conoscere l'andamento della funzione ci permetterà di capire in quanti punti il suo grafico taglia la retta orizzontale y=1.

Usiamo la solita procedura per massimi e minimi e calcoliamo la derivata prima della funzione integrale.

Prima applichiamo il teorema fondamentale del calcolo integrale

F'(x)=\frac{d}{dx}\left[\int_0^{x^2}\frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt\right]=

poi usiamo il teorema di derivazione della funzione composta

=\frac{e^{(x^2)^2}}{(x^2)^4+(x^2)^2+1}\frac{d}{dx}\left[x^2\right]=

da cui

=\frac{e^{x^4}}{x^8+x^4+1}\cdot 2x

In merito al segno di F'(x) si vede subito che il primo fattore è positivo per ogni x (esponenziale fratto somma positiva) quindi

F'(x)>0\mbox{ per }x>0

di riflesso, per parità

F'(x)<0\mbox{ per }x<0

e qui scopriamo che la funzione integrale decresce su (-\infty,0) da +\infty a zero, poi raggiunge il minimo

F(0)=\int_{0}^{0}\frac{e^{t^2}}{t^4+t^2+1}dt=0

e poi cresce su 0,+\infty da zero a +\infty. Essa è ovviamente continua, dunque interseca la retta y=1 in due punti distinti, vale a dire che

F(x)=1

ammette due e solo due soluzioni. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby

Equazione integrale che ammette due soluzioni #82739

avt
mari.mari
Punto
Tutto chiaro grazie! Solo che vedendo gli svolgimenti così capisco tutto, ma se li devo fare da sola non riesco proprio a iniziare emt

Prima infatti cercavo di calcolare l'integrale.
  • Pagina:
  • 1
Os