Serie parametrica con criterio di Leibniz

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Serie parametrica con criterio di Leibniz #82707

avt
mari.mari
Punto
Salve! Oggi vi stresso con un serie con il criterio di Leibniz. La serie presenta un parametro:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left ( -1\right )^{n}}{n^{2} +1} e^{n\left ( \frac{x+1}{x-2} \right )}

e mi si chiede di studiarne la convergenza al variare di x\neq 2.


Io ho provato a farla utilizzando Leibniz, e quindi ho iniziato con il verificare le due condizioni per applicare il teorema. Ho cercato come al variare dell'esponente cambi il valore del limite.
e ho trovato che il limite mi da zero se l'esponente è negativo e quindi in

-1\leqslant x< 2

è giusto? Posso passare a calcolare la derivata?
 
 

Serie parametrica con criterio di Leibniz #82710

avt
Ifrit
Amministratore
Dobbiamo studiare il carattere della serie

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}e^{n\left(\frac{x+1}{x-2}\right)}

al variare del parametro x. Controlliamo per quali valori di x il limite:

\lim_{n\to \infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}e^{n\left(\frac{x+1}{x-2}\right)}

è zero. Stiamo verificando per quali valori di x è soddisfatta la condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza.

Osserviamo che il termine generale della serie è a segni alterni, ossia del tipo

(-1)^{n}a_n\mbox{ con }a_n>0

Nel nostro caso a_n= \frac{e^{n\left(\frac{x+1}{x-2}\right)}}{n^2+1}

e se tale successione tende a zero, tenderà a zero anche

(-1)^{n}\frac{e^{n\left(\frac{x+1}{x-2}\right)}}{n^2+1}

Dunque calcoliamo il limite:

\lim_{n\to \infty} \frac{e^{n\left(\frac{x+1}{x-2}\right)}}{n^2+1}=

Al numeratore abbiamo una funzione esponenziale, mentre al denominatore abbiamo un semplice polinomio di secondo grado e grazie al confronto tra infiniti, ci rendiamo conto che è l'esponenziale la funzione che prevale. Se il numeratore tende a zero allora tenderà a zero tutto a_n.

Quand'è che

\lim_{n\to \infty}e^{n\left(\frac{x+1}{x-2}\right)}=0?

È a questa domanda a cui dobbiamo dare risposta. Ciò avviene quando l'esponente dell'esponenziale è negativo, e ciò si traduce nella disequazione razionale fratta

\frac{x+1}{x-2}<0

che ha per soluzione -1<x<2

Il caso x=-1 è da studiare a parte. emt

Per tale valore la serie di partenza diventerà:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}

che rispetta tutte le ipotesi del criterio di Leibniz, dunque converge certamente. Nota infatti che la successione

\left\{\frac{1}{n^2+1}\right\}_{n\in\mathbb{N}}

è positiva: infatti è rapporto di quantità positive.

è decrescente: infatti osserva che da

n< n+1

segue che elevando membro a membro al quadrato si mantiene il verso perché stiamo giocando con quantità positive

n^2<(n+1)^2

Sommando membro a membro 1, la disuguaglianza si mantiene

n^2+1<(n+1)^2+1

Passando ai reciproci, la disuguaglianza si inverte:

\frac{1}{(n+1)^2+1}<\frac{1}{n^2+1}

Questo dimostra che quella considerata è una successione decrescente.

è infinitesima: \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+1}=0.


Quello che ci rimane da studiare è la serie per -1<x<2. A livello teorico potremmo utilizzare Leibniz, ma ti assicuro che è una fatica immane, soprattutto per dimostrare la decrescenza.

Io propongo questa strada. Pongo t=e^{\frac{x+1}{x-2}} in questo modo si ha che:

e^{n\left(\frac{x+1}{x-2}\right)}=\left[e^{\frac{x+1}{x-2}}\right]^n=t^n

e la serie diventa:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}t^n

Ci siamo ricondotti ad una serie di potenze di cui possiamo calcolare il raggio di convergenza R:

\frac{1}{R}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^2+1}}{\frac{(-1)^{n}}{n^2+1}}\right|=

\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+1}{n^2+2n+2}=1

Dunque il raggio di convergenza è R=1, perché il reciproco di 1 è 1.

Abbiamo convergenza certa se il valore assoluto della variabile t è minore del raggio di convergenza trovato.

|t|<1\implies -1<t<1

ma la nostra t è e^{\frac{x+1}{x-2}}

Pertanto

-1<e^{\frac{x+1}{x-2}}<1

Ora la prima parte della catena di disequazioni è sempre soddisfatta purché x\ne 2, nota infatti che l'esponenziale è sempre una funzione positiva ed è certamente maggiore di -1. Quella più interessante è la disequazione esponenziale

e^{\frac{x+1}{x-2}}<1

che è equivalente alla disequazione fratta

\frac{x+1}{x-2}<0

Ed ha per soluzione -1<x<2. Questo ci permette di concludere che la serie converge in

-1\le x<2.
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby

Re: Serie parametrica con criterio di Leibniz #82729

avt
mari.mari
Punto
Meno male si può fare in un altro modo senza Leibniz, perché mi venivano davvero passaggi infiniti quando provavo a farlo!

Grazie emt
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Os