Strano limite in due variabili nelle coordinate polari

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Strano limite in due variabili nelle coordinate polari #82690

avt
Misteroverflow
Punto
Ciao, non riesco a capire un passaggio che ho trovato in un esercizio sui limiti in 2 variabili, secondo me l'esercizio è sbagliato.

SI tratta di studiare il seguente limite in 2 variabili:

 \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{3x^3-x^2}{x^2y^2}

Deve essere svolto con il metodo delle coordinate polari, quindi diventa:

 \lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{|3\rho^{3} \cos^{3} \theta- \rho^{2} \cos^{2} \theta|}{\rho^{4} \sin^{2}\theta \cos^{2}\theta}

Ora, lo so che si può semplificare il coseno (o la x nel limite originale), ma la traccia di soluzione vedo che a questo punto spezza il modulo al numeratore in due parti, e questo secondo me non è un passaggio valido:

 \lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{|3\rho^{3}\cos^{3}\theta|-|\rho^{2}\cos^{2}\theta|}{\rho^{4}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta}

Quindi mi chiedo: è ammesso separare il modulo in quel modo? Secondo me no, si può fare con una somma, ma non è vero che il modulo di una differenza è uguale alla differenza dei moduli.
Che ne dite?

ciao
 
 

Strano limite in due variabili nelle coordinate polari #82697

avt
Omega
Amministratore
Ci sono diverse cose che non tornano... :(

In riferimento alla differenza dei moduli, se ti riferisci ad un'uguaglianza la tua osservazione è corretta: in generale non è vero che il modulo della differenza è uguale alla differenza dei moduli, basta considerare come controesempio

2=|(-1)-1|\neq |(-1)|-|1|=0

La proprietà valida in generale asserisce che, dati a,b\in\mathbb{R}

|a-b|\geq ||a|-|b||

come dimostrato in questa pagina: modulo della differenza.


Sinceramente non vedo nemmeno la necessità di passare in coordinate polari. Ad ogni modo, supponendo che il passaggio al riferimento polare e la mancata semplificazione vengano imposti per motivi didattici, il valore assoluto non deve esserci!

\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{3x^3-x^2}{x^2y^2}

Per la riscrittura nel riferimento polare è sufficiente usare le leggi di trasformazione delle singole coordinate, come spiegato nella guida sui limiti in due variabili

\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{3\rho^{3} \cos^{3} \theta- \rho^{2} \cos^{2} \theta}{\rho^{4} \sin^{2}\theta \cos^{2}\theta}

Posso chiederti cortesemente il link/pdf/foto della soluzione di cui evidentemente disponi, in modo ch'io possa sbrogliare il bandolo della matassa? emt Se si tratta di un link, rispondi pure qui di seguito; se invece hai una foto/pdf, inviacelo pure via mail.

Strano limite in due variabili nelle coordinate polari #82709

avt
Misteroverflow
Punto
ciao,

purtroppo non ho link né immagini da postare, al massimo ho i miei appunti, perché la traccia è... la lezione del mio professore di matematica. Ma l'esercizio era così, garantito. Mi sa che il professore ha preso una cantonata.

Il valore assoluto va messo nel passaggio alle coordinate polari perché l'avvicinamento all'origine può avvenire da uno qualsiasi dei quadranti della circonferenza trigonometrica, anche quelli con valori negativi.
E' superfluo per i quadrati, ma ad es. il coseno al cubo richiede il modulo.

Preciso che l'esercizio procede per maggiorazioni, il limite con il modulo spezzato in due è usato come maggiorante del limite iniziale.

L'esercizio prosegue con la maggiorazione tramite il modulo spezzato in due (che per me è illegale), poi vengono portate fuori dal modulo le rho perché sono dei raggi di convergenza sempre positivi.

I vari passaggi sono:

 \lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{|3\rho^3\cos^3\theta-\rho^2\cos^2 \theta|}{|\rho^4\sin^2\theta\cos^2\theta|}

<= (e questa maggiorazione mi pare sbagliata)
 \lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{|3\rho^3\cos^3\theta|-|\rho^2\cos^2 \theta|}{|\rho^4\sin^2\theta\cos^2\theta|}

poi vengono portate le rho fuori dal modulo, che mi pare corretto:
<=  \lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{3\rho^3|\cos^3\theta|-\rho^2|\cos^2 \theta|}{\rho^4|\sin^2\theta||\cos^2\theta|}

E poi viene fatta un'ulteriore maggiorazione togliendo le funzioni trigonometriche:
<=  \lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{3\rho^3-\rho^2}{\rho^4}

Anche questa maggiorazione secondo me è sbagliata, perché al numeratore eliminando il coseno al quadrato (che è certamente <=1) si ottiene un prodotto più alto con segno negativo.
Viceversa è corretto maggiorare eliminando le altre funzioni trigonometriche.

Alla fine rimane si risolve banalmente per sostituzione di rho=0, e il limite diventa -1/0 che fa meno infinito.

Concordate con i miei dubbi?

Strano limite in due variabili nelle coordinate polari #82711

avt
Omega
Amministratore
Grazie per aver postato lo svolgimento emt

Dunque, non ti nascondo che questo genere di domande è molto difficile da gestire, perché viene richiesto di analizzare ciò che è stato recepito da una spiegazione di un docente.

Il problema è che tra la spiegazione del docente e quello che hai postato c'è di mezzo il tuo filtro interpretativo, utilizzato mentre prendevi gli appunti. Dunque io posso commentare ciò che hai recepito, ma devi tenere ben presente che ciò che hai recepito potrebbe non coincidere (per un motivo o per l'altro) con ciò che il docente ha effettivamente spiegato o intendeva spiegare.

Il problema è che tutti possono commettere errori, sia tu, sia il professore che pensava una cosa e ne scriveva un'altra. emt


Ora passiamo allo svolgimento che hai riportato.

Il valore assoluto va messo nel passaggio alle coordinate polari perché l'avvicinamento all'origine può avvenire da uno qualsiasi dei quadranti della circonferenza trigonometrica, anche quelli con valori negativi.

Questo non è corretto. Il valore assoluto viene applicato all'immagine della funzione, l'avvicendamento nei 4 quadranti non c'entra. Ma avrò modo di spiegare l'utilizzo del valore assoluto tra poco, quando proporrò lo svolgimento corretto dell'esercizio.

A parte questo, la maggiorazione

\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{|3\rho^3\cos^3(\theta)-\rho^2\cos^2 (\theta)|}{|\rho^4\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)|}\leq \lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{|3\rho^3\cos^3(\theta)|-|\rho^2\cos^2 (\theta)|}{|\rho^4\sin^2(\theta)\cos^2(\theta)|}

non è corretta, come hai giustamente osservato. Non lo è nemmeno quella finale.

D'altra parte all'inizio dello svolgimento che hai scritto vedo il limite di una funzione positiva la quale viene maggiorata con una funzione che diverge a -\infty, è evidente che qualcosa non funziona. emt

Attenzione anche a come ti esprimi:

Alla fine rimane si risolve banalmente per sostituzione di \rho=0, e il limite diventa -1/0 che fa meno infinito.

no buono, non si risolve per sostituzione. Ammesso e non concesso che il limite finale fosse quello, si calcolerebbe con l'algebra di infiniti e infinitesimi.

Ora passo allo svolgimento del limite. Fa' parecchia attenzione al verso delle maggiorazioni...

\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\frac{3x^3-x^2}{x^2y^2}

Per qualche strana ragione (sigh!) decidiamo di non semplificare x^2. Teniamo bene a mente che la funzione non è definita sugli assi x=0,\ y=0, ciò comunque non ci impedisce di calcolare il limite per (x,y)\to (0,0).

Passiamo in coordinate polari

\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)- \rho^{2} \cos^{2} (\theta)}{\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)}

dove per definizione r\geq 0,\ 0\leq \theta<2\pi.

Alla luce della precedente osservazione dobbiamo tenere a mente che la funzione non è definita lungo le direzioni \theta=0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}.

Noi vogliamo dimostrare che il limite vale -infinito. Per farlo consideriamo il limite del valore assoluto

\lim_{\rho \rightarrow 0}\left|\frac{3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)- \rho^{2} \cos^{2} (\theta)}{\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)}\right|

e cerchiamo di individuare una funzione g(\rho,(\theta)) non negativa (1) tale:

(2) che risulti

\left|\frac{3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)- \rho^{2} \cos^{2} (\theta)}{\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)}\right|\geq g(\rho,(\theta))

(3) che risulti

\lim_{\rho\to 0}g(\rho,\theta)=+\infty

Se riusciamo a trovare una funzione minorante che soddisfa (1), (2), (3) potremo asserire per confronto che

\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)- \rho^{2} \cos^{2} (\theta)}{\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)}=-\infty

perché avremo automaticamente

\frac{3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)- \rho^{2} \cos^{2} (\theta)}{\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)}\leq -g(\rho,(\theta))

Nota infatti che in un intorno di (0,0) la funzione assegnata inizialmente è negativa.

Ecco quindi svelato il mistero del modulo: confronto. Tutto qui. emt

Ora cerchiamo una minorante adeguata per i nostri scopi

\left|\frac{3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)- \rho^{2} \cos^{2} (\theta)}{\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)}\right|=

Proprietà del valore assoluto

=\frac{\left|3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)- \rho^{2} \cos^{2} (\theta)\right|}{\left|\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)\right|}\geq

Usiamo la proprietà del modulo della differenza di cui ho scritto nella mia prima risposta

\geq \frac{||3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)|- |\rho^{2} \cos^{2} (\theta)||}{\left|\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)\right|}\geq

Il denominatore è non negativo, dunque il modulo è superfluo

\geq \frac{||3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)|- |\rho^{2} \cos^{2} (\theta)||}{\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)}\geq (\bullet)

Ora un passaggio delicato: il seno e il coseno assumono valori compresi in [-1,+1], dunque \sin^2(\theta),\cos^2(\theta)\in [0,1]. Segue automaticamente

\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)\leq \rho^4

considerando un denominatore più grande, otteniamo a parità di numeratore un rapporto più piccolo

(\bullet)\geq\frac{||3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)|- |\rho^{2} \cos^{2} (\theta)||}{\rho^{4}}=

Portiamo fuori dai moduli i coefficienti in \rho, che è non negativo per definizione

=\frac{|3\rho^3|\cos^{3} (\theta)|- \rho^{2} |\cos^{2} (\theta)||}{\rho^{4}}=

Altra proprietà del modulo

=\frac{|\ 3\rho^3|\cos^{2} (\theta)||\cos(\theta)|- \rho^{2}|\cos^{2} (\theta)|\ |}{\rho^{4}}=

A questo punto, dopo esserci autoflagellati con moduli e relative proprietà, direi che possiamo chiudere la strada cervellotica dello svolgimento. Strada che non ho voluto intraprendere io, sia ben chiaro! emt Tra l'altro anche nello svolgimento del tuo docente alla fine è necessaria una semplificazione...emt

=\frac{\rho^2|\cos^2(\theta)|\cdot |3\rho|\cos(\theta)|-1|}{\rho^{4}}=

L'inutilità del valore assoluto esterno

=\frac{\rho^2\cos^2(\theta)\cdot |3|\rho\cos(\theta)|-1|}{\rho^{4}}=

Semplifichiamo

=\frac{\cos^2(\theta)\cdot |3\rho|\cos(\theta)|-1|}{\rho^{2}}=g(\rho,\theta)

Tenendo conto delle direzioni escluse dal dominio è facile vedere che \cos(\theta)\neq 0 indipendentemente dalla scelta di \theta, quindi per \rho \to 0 abbiamo il rapporto tra una costante e un infinitesimo

\lim_{\rho\to 0}\frac{\cos^2(\theta)\cdot |3\rho|\cos(\theta)|-1|}{\rho^{2}}=+\infty

Grazie alle considerazioni viste all'inizio dello svolgimento, segue per confronto la divergenza del modulo della funzione in coordinate polari, e quindi

\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{3\rho^{3} \cos^{3} (\theta)- \rho^{2} \cos^{2} (\theta)}{\rho^{4} \sin^{2}(\theta) \cos^{2}(\theta)}=-\infty


Fine: robe da pazzi. Con la semplificazione all'inizio e non alla fine, lo stesso limite si calcola in 4 passaggi... emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby

Re: Strano limite in due variabili nelle coordinate polari #82717

avt
Misteroverflow
Punto
Grazie,
io non ci sarei mai arrivato, questi limiti li ho sempre visti calcolare cercando dei maggioranti, non dei minoranti.
Ovviamente se mi ricapita semplifico tutto il possibile all'inizio del calcolo.
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Os