Esercizio teorico su derivate

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Esercizio teorico su derivate #82685

avt
paimezzi
Cerchio
Ciao! Avrei un esercizio teorico con le derivate. Ecco il testo.

Sia f:\mathbb{R}\to \mathbb{ R} una funzione due volte derivabile in x_{0} tale che

\begin{cases} f'(x_{0})=0 \\ f''(x_{0})>0 \end{cases}

Si provi che f non può avere un massimo in x_{0}.

Io ho capito l'esercizio ma non so tradurre il mio ragionamento in linguaggio matematico.

Grazie mille.
 
 

Re: Esercizio teorico su derivate #82687

avt
Ifrit
Amministratore
Per ipotesi la funzione f è derivabile due volte in x_0, sappiamo inoltre che

la derivata prima in x_0 è zero

\mbox{Hp1 }:f'(x_0)=0

La derivata seconda in x_0 è maggiore di zero

\mbox{Hp2 }: f''(x_0)>0

Partiamo proprio da quest'ultima informazione. Per definizione di derivata seconda si ha che:

f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}

In sostanza abbiamo espresso la derivata seconda tramite la definizione nuda e cruda, come limite del rapporto incrementale della funzione derivata prima centrato in x_0.

L'Hp1 ci assicura inoltre che f'(x_0)=0 pertanto il precedente limite diventa

f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}

Inoltre poiché f''(x_0)>0 allora anche il limite al secondo membro sarà positivo

\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}>0

Facciamo intervenire il teorema della permanenza del segno, il quale ci assicura che esiste un intorno bucato di x_0, chiamiamolo I\setminus\{x_0\} in cui il rapporto che trovi dentro il limite ha lo stesso segno del limite (in questo caso maggiore di zero, quindi positivo):

\frac{f'(x)}{x-x_0}>0\quad\forall x\in I\setminus\{x_0\}

Affinché ciò avvenga, dobbiamo richiedere che il numeratore f'(x) sia concorde a x-x_0, ossia abbiano lo stesso segno.

Si ha quindi che per x\in I\setminus\{x_0\}

\frac{f'(x)}{x-x_0}>0\iff f'(x)>0\mbox{ e }x-x_0>0

oppure

f'(x)<0\mbox{ e }x-x_0<0

Possiamo riscrivere queste due informazioni come segue:

f'(x)>0\mbox{ e }x>x_0

f'(x)<0\mbox{ e }x<x_0

Ora sta attento, dopo del punto x_0, cioè per x>x_0, la derivata prima è positiva dunque la funzione f(x) è crescente.

Subito prima del punto x_0, ossia per x<x_0, la derivata prima è negativa, pertanto la funzione madre f(x) è decrescente.

Questo ci permette di concludere che x_0 è in realtà un punto di minimo relativo, non può essere punto di massimo.

Metodo alternativo con Taylor

Possiamo utilizzare anche il teorema di Taylor. Poiché le sue ipotesi sono soddisfatte possiamo scrivere la funzione come:

f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+ \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)

Per ipotesi sappiamo che f'(x_0)=0 e f''(x_0)>0, la precedente si riscrive come:

f(x)=f(x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)

f(x)-f(x_0)=\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+o((x-x_0)^2)

Per x\ne x_0 dividiamo membro a membro per (x-x_0)^{2}

\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2}}= \frac{f''(x_0)}{2}+ \frac{o((x-x_0)^{2})}{(x-x_0)^2}

A questo punto, passiamo il limite per x che tende a x_0

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2}}= \lim_{x\to x_0}\frac{f''(x_0)}{2}+ \frac{o((x-x_0)^{2})}{(x-x_0)^2}

Dalla definizione stessa di o piccolo si ha che

\lim_{x\to x_0}\frac{o((x-x_0)^{2})}{(x-x_0)^2}=0

di conseguenza il limite precedente è uguale a

\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^{2}}=\frac{f''(x_0)}{2}>0

Per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno bucato di x_0 per il quale si ha che il rapporto:

\frac{f(x)-f(x_0)}{(x-x_0)^2}>0

e ciò avviene se e solo se

f(x)-f(x_0)>0\implies f(x)>f(x_0)

confermando il fatto che f(x_0) non può essere massimo, anzi.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, paimezzi
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Os