Dimostrare una proprietà di una funzione integrale

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Dimostrare una proprietà di una funzione integrale #82675

avt
mari.mari
Punto
Qualcuno potrebbe aiutarmi con la dimostrazione di una proprietà per una funzione integrale?

\int_{0}^{\sin(x)} \left ( \frac{1}{t^{4}+3} \right )dt

Mi si chiede di dimostrare che per ogni x,y\in\mathbb{R} vale

\left | F\left ( x \right )-F\left ( y \right ) \right |\leq  \frac{1}{3}\left | x-y \right |


Esercizi simili li ho risolti con il teorema

f'\left ( x_{0} \right )= \left |\frac{ f\left ( y \right )-f\left ( x \right )}{x-y} \right |

ma con questo non so...
 
 

Dimostrare una proprietà di una funzione integrale #82678

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio chiede di dimostrare che vale la relazione:

|F(x)-F(y)|\le \frac{1}{3}|x-y|\quad\forall x, y\in \mathbb{R}

dove la funzione F è definita tramite l'integrale:

F(x)=\int_{0}^{\sin(x)}\frac{1}{t^4+3}dt

Per portare a casa il risultato sarà necessario utilizzare il teorema di Lagrange, dobbiamo ovviamente accertarci che tutte le sue ipotesi siano soddisfatte. Prenderemo come intervallo di riferimento

[y, x]\mbox{ con }x, y\in\mathbb{R}\mbox{ e }y<x.

Continuità della funzione F nell'intervallo [y,x]

La funzione integrale F è continua nell'intervallo [y,x]?, la risposta è ovviamente sì, perché vale per essa il teorema di continuità della funzione integrale che puoi trovare nella lezione sul teorema fondamentale del calcolo integrale. La funzione integranda è una funzione continua ed è dunque integrabile e limitata nell'intervallo [y,x] (teorema di Weierstrass) e soddisfa di conseguenza le ipotesi del teorema di continuità.

Derivabilità della funzione F nell'intervallo aperto (y,x)

La funzione F è derivabile nell'intervallo aperto (y,x)? Qui si risponde agevolmente con il teorema dell'esistenza della primitiva che trovi nel link sul teorema fondamentale del calcolo integrale.

Poiché le pretese del teorema di Lagrange sono soddisfatte allora esiste un punto x_0\in (y, x) tale che

F(x)-F(y)=F'(x_0)(x-y)

Applichiamo membro a membro il valore assoluto così da ottenere:

|F(x)-F(y)|=|F'(x_0) (x-y)|

Ricorda che il valore assoluto di un prodotto coincide con il prodotto dei valori assoluti. Tale proprietà ci permette di scrivere che:

|F'(x_0) (x-y)|= |F'(x_0)|\cdot|x-y|

Dunque

|F(x)-F(y)|=|F'(x_0)|\cdot |x-y|

Se riusciamo a dimostrare che

|F'(x_0)|\le \frac{1}{3}

abbiamo praticamente finito. emt

Calcolo della derivata prima della funzione integrale

A questo punto dobbiamo calcolare la derivata prima della funzione F, ma prima di farlo, ti invito caldamente a leggere la discussione su come calcolare la derivata di una funzione integrale, fidati non te ne pentirai.

Dal teorema fondamentale del calcolo integrale, in combo con la regola di derivazione per le funzioni composte abbiamo:

F'(x)=\frac{1}{3+\sin^4(x)}\cdot D[\sin(x)]= \frac{\cos(x)}{3+\sin^4(x)}

dunque:

|F'(x)|=\left|\frac{\cos(x)}{3+\sin^4(x)}\right|

Ora attenzione, sappiamo che la funzione seno è limitata da -1 e 1:

-1\le \sin(x)\le 1\implies 0\le \sin^4(x)\le 1

Aggiungiamo tre membro a membro così da ottenere:

3\le 3+\sin^4(x)\le 4

Passiamo ai reciproci, ricordandoci che questa procedura inverte il verso delle disuguaglianze in gioco

\frac{1}{4}\le \frac{1}{3+\sin^4(x)}\le \frac{1}{3}

La disuguaglianza che ci interessa è la seconda, ossia

\frac{1}{3+\sin^4(x)}\le \frac{1}{3}

Nota che stiamo giocando con quantità positive, e finora il valore assoluto non è servito. emt

Moltiplichiamo membro a membro per |\cos(x)| (qui il valore assoluto è necessario perché la funzione coseno è a segno variabile)

\frac{|\cos(x)|}{3+\sin^4(x)}\le \frac{|\cos(x)|}{3}

Ricordando che |\cos(x)|\le 1\quad\forall x\in\mathbb{R} si ha che:

\frac{|\cos(x)|}{3+\sin^4(x)}\le \frac{|\cos(x)|}{3}\le \frac{1}{3}

Questa relazione vale per ogni x, varrà anche per x_0, ossia,

|F'(x_0)|=\left|\frac{\cos(x_0)}{3+\sin^4(x_0)}\right|\le \frac{1}{3}

Siamo felici perché abbiamo praticamente concluso:

|F(x)-F(y)|=\overbrace{|F'(x_0)|}^{\le \frac{1}{3}}\cdot |x-y|\le \frac{1}{3}|x-y|\quad\forall x, y\in\mathbb{R}

Ed ecco infine

|F(x)-F(y)|\le \frac{1}{3}|x-y|\quad\forall x, y\in\mathbb{R}

che è quello che volevamo dimostrare. emt
Ringraziano: Galois, CarFaby, mari.mari
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