Studio di funzione con integrale con logaritmo

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Studio di funzione con integrale con logaritmo #82638

avt
paimezzi
Cerchio
Ciao di nuovo, qui devo effettuare lo studio di una funzione integrale con logaritmo. Ecco la traccia:

si consideri la funzione integrale definita da

f(x)=\int_{0}^{e^{-x}}\frac{t}{\ln(t)}dt.

Determinare dominio, calcolare derivata prima e seconda, e stabilire in quali intervalli la funzione è concava e convessa.

Grazie emt
 
 

Studio di funzione con integrale con logaritmo #82663

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Paimezzi emt

Dobbiamo eseguire uno studio di funzione integrale molto interessante perché uno degli estremi è a sua volta una funzione, inoltre l'estremo inferiore, 0, fa sì che l'integrale sia improprio, il tuo professore deve essere un simpaticone emt

La funzione è:

f(x)=\int_{0}^{e^{-x}}\frac{t}{\ln(t)}dt

Iniziamo col determinare il dominio, ricordando che per le funzioni integrali esso è il più grande intervallo costituito da tutti i valori che rendono l'integrale convergente.

Per farlo in modo semplice, poniamo s=e^{-x} (nota che s è una variabile positiva perché uguale ad un'esponenziale ):

\int_{0}^{s}\frac{t}{\ln(t)}dt

e chiediamoci per quali valori di s l'integrale converge.

La funzione integranda g(t)=\frac{t}{\ln(t)} ha per dominio

\mbox{dom}(g)=(0, 1)\cup (1, +\infty)

infatti vi sono due condizioni da soddisfare:

\begin{cases}t>0&\mbox{ C.E. logaritmo}\\ \ln(t)\ne 0&\mbox{ C.E. frazione}\end{cases}

Il logaritmo pretende che il suo argomento sia positivo, mentre la frazione pretende che il suo denominatore sia diverso da zero.

L'integrale improprio di seconda specie presenta due punti problematici che sono 0 e 1, dovremo studiare il carattere con l'ausilio di qualche criterio di convergenza. emt

Fissiamo 0<s< 1 e osserviamo che:

\int_{0}^{s}\frac{t}{\ln(t)}dt= \int_{0}^{s}\frac{1}{t^{-1}\ln(t)}dt

non è altro che un integrale improprio notevole (vedi caso 3) convergente.

Questo significa che l'integrale converge sicuramente per s\in (0,1), vediamo se la variabile s riesce a superare l'1.

Per studiare il secondo punto problematico, 1 per l'appunto, utilizzeremo il criterio del confronto asintotico. Quali sono le stime asintotiche che ci verranno in soccorso? Iniziamo con quella banale

t\sim_{t\to 1}1

Questa richiede un po' di furbizia

\ln(t)=\ln(1+(t-1))\sim_{t\to 1}t-1

In sostanza mi sono ricondotto alla stima asintotica del logaritmo:

\ln(1+f(x))\sim_{f(x)\to 0}f(x)

aggiungendo e sottraendo 1. emt

Le due stime appena trovate ci permettono di concludere che:

\frac{t}{\ln(t)}\sim_{t\to 1} \frac{1}{t-1}

e poiché l'integrale

\int_{0}^{1}\frac{1}{t-1}dt

non converge, non convergerà nemmeno l'integrale

\int_{0}^{1}\frac{t}{\ln(t)}dt

Questo ci assicura che la variabile s è costretta a stare in (0,1) o, detto in altri termini, 0<s<1. Non dimentichiamo però che s=e^{-x} conseguentemente

0<s<1\iff 0<e^{-x}<1

La funzione esponenziale è sempre positiva dunque la disequazione e^{-x}>0 è sempre soddisfatta.

La disequazione esponenziale

e^{-x}<1

ha per soluzione

-x<0\implies x>0

e finalmente possiamo concludere che l'integrale converge per x\in (0, +\infty) e tale insieme rappresenta il dominio della funzione.

Derivata prima

Per calcolare la derivata prima della funzione dobbiamo fare ricorso al teorema fondamentale del calcolo integrale, con le dovute accortezze ovviamente.

Fissiamo x\in (0, +\infty) e consideriamo un numero \alpha tale che 0<\alpha<e^{-x}, possiamo vedere la funzione come:

f(x)=\int_{0}^{\alpha}\frac{t}{\ln(t)}dt+ \int_{\alpha}^{e^{-x}}\frac{t}{\ln(t)}dt

Il primo è un integrale convergente ed è un numero, una costante che possiamo chiamare K, in questo modo la funzione integrale si riscriverà come

f(x)=K+ \int_{\alpha}^{e^{-x}}\frac{t}{\ln(t)}dt

Non ti agitare per la costante K, è necessaria per utilizzare per bene il teorema fondamentale, infatti esso pretende che la funzione integranda sia definita in un intervallo chiuso e limitato, mentre \frac{t}{\ln(t)} non è definita nel primo estremo 0. Noi abbiam espresso la funzione integrale come la somma tra una costante e un'altra funzione integrale che però rispetta le ipotesi del teorema fondamentale.

Prima di continuare con la soluzione, ti invito a leggere la discussione su come calcolare la derivata di una funzione integrale, fatto? Bene, grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo scrivere che:

f'(x)=D\left[K+\int_{\alpha}^{e^{-x}}\frac{t}{\ln(t)}dt\right]=

=D[K]+ D\left[\int_{\alpha}^{e^{-x}}\frac{t}{\ln(t)}dt\right]

La derivata di una costante è zero, e ciò che rimane è

=\frac{e^{-x}}{\ln(e^{-x})}\cdot D[e^{-x}]=

=\frac{e^{-x}}{\ln(e^{-x})}\cdot(-e^{-x})= \frac{e^{-2x}}{x}\mbox{ con }x>0

che è la derivata prima della funzione integrale.

Derivata seconda

La derivata seconda è la derivata della derivata prima

f''(x)=D\left[\frac{e^{-2x}}{x}\right]

Basta utilizzare la regola di derivazione del quoziente

f''(x)= \frac{-2e^{-2x}\cdot x- e^{-2x}}{x^2}=\frac{e^{-2x}(-2x-1)}{x^{2}}

Ecco la derivata seconda! emt

Intervalli di concavità e convessità

Lo studio della convessità di una funzione derivabile due volte avviene tramite l'analisi del segno della derivata seconda. Risolviamo la disequazione:

\frac{e^{-2x} (-2x-1)}{x^2}\ge 0

Studiamo il segno dei singoli fattori che intervengono in essa:

e^{-2x}\ge 0\quad\forall x

-2x-1\ge 0\implies 2x\le 1\implies x\le \frac{1}{2}

x^2>0\implies x\ne 0

Tramite la tabella dei segni concludiamo che la derivata seconda è

- positiva se x<\frac{1}{2}

- nulla se x=\frac{1}{2}

- negativa se x>\frac{1}{2}

pertanto la funzione integrale

- è convessa se 0<x<\frac{1}{2}

- ha un punto di flesso per x=\frac{1}{2}

- è concava se x>\frac{1}{2}

L'analisi è conclusa.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, paimezzi

Studio di funzione con integrale con logaritmo #82671

avt
paimezzi
Cerchio
Grazie Ifrit per la spiegazione chilometrica! Tutto chiaro anche se ho dovuto leggermela parecchie volte per capirla bene.

E si, il mio professore è decisamente un simpaticone ... emt

Ciao ciao
Ringraziano: Ifrit
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Os