Studiare e calcolare un integrale improprio con logaritmo

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Studiare e calcolare un integrale improprio con logaritmo #82630

avt
mari.mari
Punto
Mi sono imbattuta in un esercizio che chiede di studiare e calcolare un integrale improprio di prima specie con logaritmo:

∫_(1)^(∞)(1)/(t^(2)) ln (1+t) dt

Utilizzando le stime asintotiche a me esce un integrale divergente, ma ho forti dubbi a riguardo!
 
 

Studiare e calcolare un integrale improprio con logaritmo #82636

avt
Ifrit
Amministratore
Abbiamo l'integrale improprio di prima specie:

∫_(1)^(∞)(1)/(t^2)ln(1+t)dt

e prima di calcolarlo esplicitamente vedremo tramite i criteri di convergenza per gli integrali di prima specie:

Studio della convergenza dell'integrale

Osserviamo che

ln(1+t) ~ _(∞) ln(t)

infatti possiamo trascurare 1 quando t tende all'infinito. Con questa informazione in mano possiamo asserire che:

(1)/(t^2)ln(1+t) ~ _(∞)(1)/(t^2)ln(t)

Se converge l'integrale

∫_(α)^(∞)(1)/(t^2)ln(t)dt

convergerà anche l'integrale di partenza. Quest'ultimo integrale è un integrale improprio notevole (vedi caso 4) e sappiamo essere convergente. Fantastico! Grazie al criterio del confronto asintotico sappiamo che convergerà anche l'integrale di partenza.

Calcolo dell'integrale improprio

In base alla definizione di integrale improprio di prima specie si ha che:

∫_(1)^(∞)(1)/(t^2)ln(1+t)dt = lim_(M → ∞)∫_(1)^(M)(1)/(t^2)ln(1+t)dt

Lasciamo da parte il limite e risolviamo l'integrale:

∫_(1)^(M)(1)/(t^2)ln(1+t)dt

La presenza del logaritmo in qualche modo ci suggerisce di provare con il metodo di integrazione per parti.

Scegliamo come fattore finito, da derivare

h(t) = ln(1+t) ⇒ h'(t) = (1)/(1+t)

e come fattore differenziale, da integrare

g'(t) = (1)/(t^2) ⇒ g(t) = -(1)/(t)

Grazie alla formula di integrazione per parti:

∫_(1)^(M)(1)/(t^2)ln(1+t)dt = [ln(1+t)(-(1)/(t))]_(1)^(M)-∫_(1)^(M)(1)/(t+1)·(-(1)/(t))dt = -(ln(1+M))/(M)+ln(2)+∫_(1)^(M)(1)/(t(t+1))dt

Occupiamoci dell'integrale rimasto:

∫_(1)^(M)(1)/(t(t+1))dt =

Puoi utilizzare il metodo dei fratti semplici per portare a casa l'esercizio oppure usare un trucco algebrico: sommiamo e sottraiamo t al numeratore:

= ∫_(1)^(M)(1+t-t)/(t(t+1))dt =

Facciamo esplodere la frazione dentro l'integrale:

= ∫_(1)^(M)((1+t)/(t(t+1))-(t)/(t(t+1)))dt = ∫_(1)^(M)((1)/(t)-(1)/(t+1))dt =

Sfruttiamo la linearità dell'integrale, ricorda infatti che l'integrale della somma coincide con la somma degli integrali, pertanto il precedente integrale si riscrive come:

= ∫_(1)^(M)(1)/(t)dt-∫_(1)^(M)(1)/(t+1)dt = [ln|t|-ln|t+1|]_(1)^(M) = ln|M|-ln|M+1|-ln(1)+ln(2) = ln|M|-ln|M+1|+ln(2)

in definitiva scriveremo che:

∫_(1)^(M)(1)/(t^2)ln(1+t)dt =

= -(ln(1+M))/(M)+ln(2)+ln|M|-ln|M+1|+ln(2)

Per una nota proprietà dei logaritmi si ha che:

ln|M|-ln|M+1| = ln((|M|)/(|M+1|))

e grazie ad essa il risultato dell'integrale si riscrive come

= -(ln(1+M))/(M)+ln(2)+ln((|M|)/(|M+1|))+ln(2)

e dunque non ci rimane che calcolare esplicitamente il limite:

lim_(M → ∞)∫_(1)^(M)(1)/(t^2)ln(1+t)dt = lim_(M → ∞)[-(ln(1+M))/(M)+ln(2)+ln((|M|)/(|M+1|))+ln(2)] =

Ora alcune osservazioni:

lim_(M → ∞)(ln(1+M))/(M) = 0

perché la potenza è un infinito di ordine superiore al logaritmo.

lim_(M → ∞)ln((|M|)/(|M+1|)) = ln(1) = 0

Infatti lim_(M → ∞)(|M|)/(|M+1|) = 1.

Di tutto l'ambaradan ci rimane quindi

lim_(M → ∞)[-(ln(1+M))/(M) (→ 0)+ln(2)+ln((|M|)/(|M+1|)) (→ 0)+ln(2)] = 2ln(2)

Fine, l'integrale improprio dato converge a 2ln(2). emt
Ringraziano: Galois, CarFaby, mari.mari
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Os