Risolvere un'equazione complessa con modulo

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Risolvere un'equazione complessa con modulo #82580

avt
SIN
Punto
Salve, ho un problema con le equazioni complesse con i moduli, ad esempio questa

\left(z^4-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)|z-i|=0


I principali metodi che uso sono:

1) cerco di semplificare la z il più possibile con semplice conti algebrici, sostituisco z con x+iy e metto a sistema la parte reale e la parte immaginaria e mi ricavo le 2 incognite.

2) Semplifico la z cercando di ricondurmi all'equazione x+iy, mi trovo modulo e argomento e poi mi calcolo le sue radici.

Quando ci sono i moduli faccio anche altro, mi spiego

1) faccio un sistema in cui un'equazione ha l'argomento del modulo positivo e l'altro negativo, ma raddoppio i calcoli e alla fine non riesco ad uscirne;

2) applico direttamente la formula |z|=\sqrt{x^2+y^2}, mi esce un'equazione sotto radice che praticamente rimane li e che non riesco a "sciogliere".

Si accettano suggerimenti di qualsiasi genere, e preferibilmente vorrei capire anche altri metodi per risolvere queste equazioni, grazie!
 
 

Risolvere un'equazione complessa con modulo #82601

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao SIN,

iniziamo subito col dire che non esiste un'unica procedura standard che ti consenta di risolvere un'equazione complessa. Ci sono però degli accorgimenti, dei trucchi se vuoi, che occorrono spesso negli esercizi standard; a questo proposito puoi dare un'occhiata alla categoria di esercizi sui numeri complessi con particolare riferimento alle schede dedicate alle equazioni.

Consideriamo l'equazione complessa

\left(z^4-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)|z-i|=0

Al primo membro abbiamo un prodotto di due fattori

\\ \bullet \ \ z^{4}-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \\ \\ \bullet\ \ |z-i|

Il secondo membro è 0. Chiediamoci ora: "quand'è che un prodotto tra numeri complessi è zero?" La risposta è semplice: è sufficiente che almeno uno dei fattori sia uguale a zero. Abbiamo appena enunciato quella che prende il nome di legge di annullamento del prodotto.


Primo fattore uguale a zero

Imponiamo che sia il primo fattore ad essere zero:

z^{4}-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=0

Portiamo al secondo membro il numero complesso -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i cambiandolo di segno.

z^4=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i

Questa equazione è della forma

z^n=\mbox{numero}

e si risolve determinando la radice di un numero complesso.

Nel nostro caso n=4 mentre il numero è \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, dunque dovremo calcolare la radice quarta di \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i e per farlo seguiremo questi semplici passaggi.

Fase 1: dalla rappresentazione cartesiana alla rappresentazione trigonometrica

Il primo passaggio consiste nell'esprimere il numero dato dalla forma cartesiana alla forma trigonometrica, ossia nella forma:

\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\rho[\cos(\theta)+i \sin(\theta)]

dove \rho \ \mbox{e}\ \theta indicano rispettivamente modulo e argomento.

Cominciamo con il calcolo del modulo, definito come la radice quadrata del parte reale al quadrato più la parte immaginaria al quadrato. Nel caso in esame

\rho=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{1}=1

Sostituiamo il valore nell'uguaglianza

\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\rho(\cos(\theta)+i \sin(\theta))

così da ottenere

\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos(\theta)+i \sin(\theta)

Ci faciliterà le cose nel calcolo dell'argomento \theta.

Ricordiamo ora che due numeri complessi sono uguali quando hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria, questa è un'informazione importante, che permetterà di costruire il sistema nell'incognita \theta:

\begin{cases}\cos(\theta)=\frac{1}{2}\\ \sin(\theta)=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}

L'unico \theta\in[0,2\pi) che soddisfa entrambe le ] equazioni goniometriche è \theta=\frac{\pi}{3} ed lui è l'argomento cercato!

Fase 2: calcolo della radice quarta

Basta applicare la formula:

\sqrt[4]{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}=\sqrt[4]{\rho}\left(\cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3}+2k\pi}{4}\right)\right)

dove k=0,1,2,3.

Ora non ci resta che sostituire i valori di k per ottenere le quattro radici quarte del numero e dunque le prime quattro soluzioni che chiamiamo z_{k}:

Per k=0

\\ z_{0}=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+i \frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}

Per k=1

z_{1}=\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+i \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right)=-\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+i \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}

Per k=2

\\ z_{2}=\cos\left(\frac{13}{12}\pi\right)+i\sin\left(\frac{13}{12}\pi\right)=-\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-i \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}

Per k=3

\\ z_{3}=\cos\left(\frac{19}{12}\pi\right)+i \sin\left(\frac{19}{12}\pi\right)=\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-i \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}

Nota: possiamo lasciare i risultati nella forma trigonometrica: abbiamo espresso le soluzioni in forma algebrica per questioni di completezza.

Secondo fattore uguale a zero

Conclusa la prima parte dell'analisi, concentriamoci sull'altro fattore e imponiamo che sia uguale a zero:

|z-i|=0

Poniamo

z=x+iy \ \mbox{con}\ x\ \mbox{e}\  y\in\mathbb{R}

pertanto

|z-i|=0\iff |x+iy-i|=0\iff |x+i(y-1)|=0

Per definizione di modulo di un numero complesso otteniamo:

|x+i (y-1)|=\sqrt{x^2+(y-1)^2}

pertanto

|x+i(y-1)|=0\iff \sqrt{x^2+ (y-1)^2}=0

Eleviamo al quadrato membro a membro

x^2+(y-1)^2=0

e sfruttiamo la seguente proprietà: la somma di due quadrati è zero se e solo se entrambi gli addendi sono zero, conseguentemente

\\ x^2=0\implies x=0 \\ \\ (y-1)^2=0\implies y-1=0\implies y=1

Abbiamo praticamente finito. Il numero cercato è:

z=\overbrace{x}^{=0}+i \overbrace{y}^{1}= 0+1\cdot i= i


Alternativa per l'equazione del secondo fattore

In questo caso la strada più veloce richiede un po' di teoria. Teniamo a mente che il modulo di un numero complesso è zero se e solo se il numero complesso è zero:

|Z|=0\iff Z=0

Nel nostro caso:

|z-i|=0\iff z-i=0\implies z=i

che è il risultato ottenuto anche in precedenza.

In definitiva le soluzioni dell'equazione sono cinque.

\\ z_{0}=\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{12}\right) \\ \\ z_{1}=\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right)+i \sin\left(\frac{7\pi}{12}\right) \\ \\ z_{2}=\cos\left(\frac{13}{12}\pi\right)+i\sin\left(\frac{13}{12}\pi\right) \\ \\ z_{3}=\cos\left(\frac{19}{12}\pi\right)+i \sin\left(\frac{19}{12}\pi\right) \\ \\ z_{4}=i

Fatto!

Nota a margine: il metodo 1) proposto da te non può funzionare, quando lavori con quantità complesse non ha senso parlare di disequazioni. Non puoi quindi scrivere z\ge i, è un errore molto grave che può significare bocciatura istantanea!
Ringraziano: Galois, CarFaby, SIN

Risolvere un'equazione complessa con modulo #82612

avt
SIN
Punto
Ciao Ifrit, innanzitutto grazie, sei stato molto chiaro e dettagliato.

Dubbio: nella fase 2, quando ti calcoli le radici, come fai a passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica? Infine una domanda attinente al mondo \mathbb{C}

\overline{z}z=|z|^2

ma

z|z|=|z|^2

è giusto?

Credo di aver letto questa semplificazione da qualche parte e di aver ricevuto conferma da qualcuno non ne son sicuro.

Risolvere un'equazione complessa con modulo #82614

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao SIN!

Per passare dalla forma trigonometrica alla forma cartesiana è sufficiente valutare il seno e il coseno dell'angolo, per i casi più complicati hai bisogno di un foglio con riportati i valori notevoli del seno e del coseno. Come ho già scritto in precedenza, ho utilizzato un calcolatore per avere i valori in forma cartesiana. Se non sai proprio come passare dalla forma trigonometrica alla forma cartesiana, leggi la lezione che ti ho linkato in precedenza, capirai come fare.

Ti invito inoltre a leggere questa piccola spiegazione sul coniugato di un numero complesso, nella quale troverai le proprietà fondamentali di cui esso gode.

La relazione corretta è:

z\cdot\bar{z}=|z|^2\quad\forall z\in\mathbb{C}

La dimostrazione è immediata, basta porre z=x+i y con x,y\in\mathbb{R}. Si ha che

\bar{z}=x-i y

Eseguiamo la moltiplicazione tra i numeri complessi z con \bar{z}

z\cdot \bar{z}=(x+i y)(x-i y)= x^2+y^2

D'altro canto anche

|z|^2=(\sqrt{x^2+y^2})^2= x^2+ y^2

pertanto vale l'uguaglianza

z\cdot\bar{z}=|z|^2.

La seconda uguaglianza che proponi

z|z|=|z|^2

è certamente falsa. Osserva infatti che al primo membro hai un prodotto tra un numero reale, |z|, e il numero complesso z, il risultato non può essere un numero reale quale è |z|^2.

Le proprietà fondamentali del modulo di un numero complesso sono:

1. Il modulo del prodotto coincide con il prodotto dei moduli dei singoli fattori

|z\cdot w|=|z|\cdot|w|\quad\forall w, z\in\mathbb{C}

2. Il modulo di un quoziente coincide con il rapporto dei moduli

\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}\mbox{ con }z\in\mathbb{C}, w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.

3. il modulo del coniugato di un numero complesso coincide con il modulo del numero complesso:

|\bar{z}|=|z|\quad\forall z\in\mathbb{Z}

4. Gode della disuguaglianza triangolare.

|z+w|\le |z|+|w|\quad\forall z, w\in\mathbb{C}.

Spero che tutte queste informazioni ti siano utili a superare le tue perplessità.
Ringraziano: CarFaby, SIN

Risolvere un'equazione complessa con modulo #82620

avt
SIN
Punto
Perfetto, ho però qualche perplessità sul modulo. Ora ti spiego.

Prendo ad esempio il modulo di z^2-i provo prima il metodo algebrico, ponendo z=x+iy

z^2-i=x^2-y^2+2ixy-i

dunque

|z^2-i|=\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2} +(2xy-1)^{2}}

senza sviluppare tutta l'equazione mi risolvo i 2 quadrati per fatti loro e li metto a sistema (lo posso fare solo perché è la somma di 2 quadrati e per far uscire 0 entrambi devo essere uguali a 0)

\\ x^2-y^2=0 \\ \\ x=y \\ \\ 2xy-1=0

Sostituisco la x

y^{2}=\frac{1}{2}

Mi calcolo i 2 valori di y

y_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2} \ \mbox{e} \ y_{2}=+\frac{\sqrt{2}}{2}

quindi

z_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,\ \ \ z_{2}=+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i

questo per quanto riguarda il procedimento algebrico
ora usando quello metodico non esce la stessa cosa

z^{2}-i=0\to z^2=i\to z=\pm\sqrt{i}

Dove ho sbagliato?

Risolvere un'equazione complessa con modulo #82624

avt
Ifrit
Amministratore
Non hai sbagliato nulla, semplicemente non hai terminato.

Immagino che l'equazione sia

|z^2-i|=0\implies z^2-i=0

Una volta arrivato all'equazione

z^2=i

dovrai calcolare la radice quadrata del numero complesso i seguendo il procedimento che ti ho fatto vedere prima.

1. Esprimi i in forma trigonometrica, calcolando modulo e argomento, in questo caso avrai

\rho=1  \ \mbox{e} \ \theta=\frac{\pi}{2}

2. Calcoli la radice complessa di i, come descritto nella lezione

\sqrt{i}=\cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\right)\ \mbox{con} \ k=0, 1

Per k=0 otterremo:

\\ z_0=\overbrace{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}^{=\frac{\sqrt{2}}{2}}+i\overbrace{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}^{=\frac{\sqrt{2}}{2}}= \\ \\ \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}

Per k=1 otterremo invece:

\\ \overbrace{\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)}^{=-\frac{1}{\sqrt{2}}}+i\overbrace{\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)}^{=-\frac{1}{\sqrt{2}}}= \\ \\ \\ =-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}

Visto? I risultati tornano. A questo punto sta a te scegliere qual è il procedimento che preferisci.
Ringraziano: CarFaby, SIN

Risolvere un'equazione complessa con modulo #82627

avt
SIN
Punto
Ok è tutto chiaro. Sì l'equazione è quella.

Cioè quando c'è il modulo la tecnica delle radici la si può applicare ugualmente, soprattutto se la funzione deve essere uguale a zero.

Per qualche motivo che non riesco ad immaginare ho pensato che con la presenza del modulo questa regoletta non si potesse applicare.

Concedimi un'altra domanda, sarò più generale: prendo un'equazione, con il prodotto di 2 funzioni, uguale a zero, come il primo esercizio (ovvio che possono essere di più)
un modulo al quadrato è uguale all'argomento senza modulo al quadrato
se per qualche motivo il modulo mi mette in crisi potrei toglierlo elevando tutto al quadrato
ora mi uscirà il prodotto di 2 funzioni elevate al quadrato, che saranno per forza maggiori o uguali a zero.

Ora, senza sviluppare i quadrati, posso trovare direttamente le radici delle 2 funzioni? No, perché le radici sono raddoppiate, o sì, perché le altre radici sono uguali a quelle di partenza?

Infine, facciamo finta che alla destra dell'uguale invece dello zero c'è un valore, che sia reale immaginario o entrambi, ma c'è sempre un prodotto di più funzioni, come dovrei comportarmi? In questo caso l'unica soluzione è quella algebrica?

Risolvere un'equazione complessa con modulo #82629

avt
Ifrit
Amministratore
Attenzione SIN, ho l'impressione che tu confonda il valore assoluto di un numero reale con il modulo di un numero complesso.
Sebbene questi due concetti siano imparentati, funzionano in modo leggermente diverso.

Mentre con i numeri reali è vera l'uguaglianza

|x^2|=x^2\quad\forall x\in\mathbb{R}

essa non funziona quando hai a che fare con numeri complessi, l'unica cosa che puoi dire è:

|z^2|=|z|^2\quad\forall z\in\mathbb{C}

Il modulo non può essere semplificato!

Giusto per farti un esempio, calcoliamo |(1+i)^2|

|(1+i)^2|=|1-1+2i|=|2i|=2

Abbiamo ottenuto un numero reale.

Se facessimo sparire il modulo:

(1+i)^2= 1-1+2i=2i

ottenendo un numero complesso. Come puoi vedere tu stesso:

|(1+i)^2|\ne (1+i)^2 proprio perché 2\ne 2i.

Tutto chiaro?

Ora vorrei mettere i puntini sulle i per quanto riguarda le definizioni di valore assoluto e modulo.

Valore assoluto di un numero reale

Dato un numero reale x:

|x|=\begin{cases}x&\mbox{ se }x\ge 0\\ -x&\mbox{ se }x<0\end{cases}

In soldoni il valore assoluto dell'argomento coincide con l'argomento se quest'ultimo è non negativo, altrimenti coincide con il "meno argomento" se quest'ultimo è negativo.

Per i numeri reali ha senso parlare di ordinamento, ossia se prendi due numeri reali sai dire senza ombra di dubbio chi è il più grande e chi è il più piccolo.

Modulo di un numero complesso

Dato un numero complesso z=x+iy\mbox{ con }x,y\in\mathbb{R} si definisce modulo la radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale, e il quadrato della parte immaginaria y, in formule:

|z|=\sqrt{x^2+ y^2}

Osserva che il modulo di un numero complesso è un numero reale.

Nell'insieme dei numeri complessi non è definito un ordinamento, ossia dati due numeri complessi non puoi dire chi è più grande o più piccolo.

Esempio:
Sai dirmi se 0<i o ancora chi è più grande tra -1+i e 1-i? La risposta è ovviamente no, non puoi dirmi chi è più grande perché in \mathbb{C} non è definita una relazione d'ordine. Quello che voglio farti capire è che in \mathbb{C} non ha senso scrivere:

|z|=\begin{cases}z&\mbox{ se }z\ge 0\\ -z&\mbox{ se }z<0\end{cases}

perché non hanno senso le scritture del tipo z\ge 0 o ancora z<0


Ora arriviamo all'altra domanda interessante, immaginiamo di trovarci di fronte ad una equazione complessa del tipo:

|z-1|=1

Per risolverla sei costretto a porre z=x+i y\mbox{ con }x, y\in\mathbb{R} e esplicitare la definizione di modulo di un numero complesso:

|x+i y-1|= |(x-1)+i y|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}

Sostituendo nell'equazione:

\sqrt{(x-1)^2+y^2}=1

(nota ora che stiamo giocando con numeri reali)

Elevo al quadrato membro a membro:

(x-1)^2+y^2=1

Nel piano complesso essa rappresenta l'equazione di una circonferenza di centro (1, 0) e raggio 1.

Devi fare uno salto mentale da \mathbb{R} a \mathbb{C}, non perdere mai di vista dove vivono le incognite, chiediti sempre: "Sto giocando con numeri reali o complessi?" e comportati di conseguenza.

Infine, se hai a che fare con un prodotto di più quantità complesse e al secondo membro non hai zero allora, dovrai necessariamente eseguire i conti e ricondurti a qualcosa che riesci a manipolare più facilmente. Esiste una procedura che vale per tutte le equazioni complesse? Purtroppo no, bisogna ingegnarsi molto e studiare le varie strategie, ecco perché ti ho consigliato di leggere gli esercizi svolti su YouMath.
Ringraziano: CarFaby, SIN

Risolvere un'equazione complessa con modulo #82645

avt
SIN
Punto
Effettivamente quello che intendevo all'inizio è applicare quello che usavo per il modulo di un numero reale su un numero complesso, sei stato veramente esauriente.

Non so come ringraziarti!
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Os