Serie numerica con arctan

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Serie numerica con arctan #82567

avt
mari.mari
Punto
Ciao ragazzi, ho una serie con arcotangente di cui devo studiare il carattere al variare del parametro x.

\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \arctan\left ( x^{2n} \right )


Posso risolverla trattandola come serie geometrica? E quindi dicendo che

\left | 2 \arctan\left  x^{2} \right  \right |^{n}< 1

e poi, come potrei continuare?
 
 

Serie numerica con arctan #82570

avt
Ifrit
Amministratore
Inizio subito col dire che la successione che rappresenta a tutti gli effetti il termine generale della serie è:

a_{n}(x)=2^{n}\arctan(x^{2n})

da non confondere con 2^{n}(\arctan(x))^{2n}. Nel nostro caso infatti l'esponente 2n agisce solo sull'argomento dell'arcotangente. emt

Condizione necessaria per la convergenza

Per studiare in modo corretto la serie, partiamo col verificare per quali valori di x è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza di Cauchy.

In soldoni dobbiamo controllare per quali valori di x il limite per n che tende ad infinito del termine generale sia uguale a zero, ma prima un po' di analisi.

Il limite

\lim_{n\to \infty}x^{2n}

è uguale a:

\bullet\,\, 0 se e solo se -1<x<1

\bullet\,\, 1 se x=-1\mbox{ oppure }x=1

\bullet\,\,+\infty se x<-1\vee x>1

Pertanto possiamo asserire che

\lim_{n\to \infty}\arctan(x^{2n})=\begin{cases}0&\mbox{ se } -1<x<1\\ \arctan(1)=\frac{\pi}{4}&\mbox{ se }x=-1\vee x=1\\ \frac{\pi}{2}&\mbox{ se }x<-1\vee x>1\end{cases}

Questa analisi è necessaria perché ci permette di asserire che sicuramente:

\lim_{n\to \infty}2^{n}\arctan(x^{2n})=+\infty\mbox{ se }x\le -1\vee x\ge 1

e dunque la serie non può convergere per x\le -1\vee x\ge 1 perché viene meno la condizione di Cauchy.

La nostra analisi quindi può essere concentrata nell'insieme -1<x<1. Osserviamo a questo punto che la serie è a termini non negativi, infatti: