Serie numerica con arctan

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Serie numerica con arctan #82567

avt
mari.mari
Punto
Ciao ragazzi, ho una serie con arcotangente di cui devo studiare il carattere al variare del parametro x.

\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \arctan\left ( x^{2n} \right )


Posso risolverla trattandola come serie geometrica? E quindi dicendo che

\left | 2 \arctan\left  x^{2} \right  \right |^{n}< 1

e poi, come potrei continuare?
 
 

Serie numerica con arctan #82570

avt
Ifrit
Amministratore
Inizio subito col dire che la successione che rappresenta a tutti gli effetti il termine generale della serie è:

a_{n}(x)=2^{n}\arctan(x^{2n})

da non confondere con 2^{n}(\arctan(x))^{2n}. Nel nostro caso infatti l'esponente 2n agisce solo sull'argomento dell'arcotangente. emt

Condizione necessaria per la convergenza

Per studiare in modo corretto la serie, partiamo col verificare per quali valori di x è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza di Cauchy.

In soldoni dobbiamo controllare per quali valori di x il limite per n che tende ad infinito del termine generale sia uguale a zero, ma prima un po' di analisi.

Il limite

\lim_{n\to \infty}x^{2n}

è uguale a:

\bullet\,\, 0 se e solo se -1<x<1

\bullet\,\, 1 se x=-1\mbox{ oppure }x=1

\bullet\,\,+\infty se x<-1\vee x>1

Pertanto possiamo asserire che

\lim_{n\to \infty}\arctan(x^{2n})=\begin{cases}0&\mbox{ se } -1<x<1\\ \arctan(1)=\frac{\pi}{4}&\mbox{ se }x=-1\vee x=1\\ \frac{\pi}{2}&\mbox{ se }x<-1\vee x>1\end{cases}

Questa analisi è necessaria perché ci permette di asserire che sicuramente:

\lim_{n\to \infty}2^{n}\arctan(x^{2n})=+\infty\mbox{ se }x\le -1\vee x\ge 1

e dunque la serie non può convergere per x\le -1\vee x\ge 1 perché viene meno la condizione di Cauchy.

La nostra analisi quindi può essere concentrata nell'insieme -1<x<1. Osserviamo a questo punto che la serie è a termini non negativi, infatti:

2^{n}>0\quad\forall n\in\mathbb{N}

\arctan(x^{2n})\ge 0\quad\forall n\in\mathbb{N},\,\forall x\in\mathbb{R}.

Il termine generale è non negativo perché il prodotto di quantità non negative. emt

Studio del carattere

La serie si presta perfettamente per l'uso del criterio del confronto asintotico, vale infatti la seguente stima asintotica:

Per -1<x<1

\arctan(x^{2n})\sim_{n\to \infty} x^{2n}

Nota: Tale stimala asintotica funziona perché per -1<x<1 l'argomento dell'arcotangente, x^{2n}, è infinitesimo. Fine nota.

Conseguentemente

2^{n}\arctan(x^{2n})\sim_{n\to \infty}2^{n}x^{2n}=(2 x^2)^{n}\quad\forall x\in (-1,1)

L'ultima uguaglianza è giustificata dalle proprietà delle potenze. La serie di partenza ha quindi lo stesso comportamento della serie

\sum_{n=1}^{\infty}(2x^{2})^{n}.

Grazie alla posizione t=2x^2 la serie si riscrive come:

\sum_{n=1}^{\infty}t^n

che è una bellissima serie geometrica. Se essa converge, convergerà anche la serie di partenza. Dalla teoria sappiamo che ciò avviene se e solo se |t|<1 e tornando in x arriveremo a:

|2x^2|<1\implies 2x^2<1\implies -\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}

Per tali valori di x la serie

\sum_{n=1}^{\infty}(2x^{2})^{n}

converge e convergerà anche la serie di partenza. Per tutti gli altri valori di x la serie di partenza diverge positivamente.

\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\arctan(x^{2n})

converge se -\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}

diverge positivamente se x\le -\frac{1}{\sqrt{2}}\vee x\ge \frac{1}{\sqrt{2}}.

Fine.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, Iusbe

Re: Serie numerica con arctan #82605

avt
mari.mari
Punto
Non ho capito perchè

\lim_{n\to \infty} x^{2n}

è uguale a 0 solo per -1< x< 1...

Re: Serie numerica con arctan #82606

avt
Ifrit
Amministratore
Eccomi emt

Esso deriva da un limite fondamentale per le successioni.

Se -1<x<1\wedge x\ne 0 allora si possiamo vedere x come una frazione del tipo

x=\frac{1}{a}\mbox{ con }a<-1\vee a>1

Dunque elevando al quadrato membro a membro

 x^2=\frac{1}{a^2}\mbox{ con }a^2>1

Eleviamo a n membro a membro:

 (x^{2})^{n}=\left(\frac{1}{a^2}\right)^{n}=\frac{1}{(a^{2})^{n}}

Facendo tendere n\to \infty il denominatore esplode a più infinito e il rapporto \frac{1}{(a^{2})^{n}} tende a zero.

Questo è una giustificazione del fatto

 \lim_{x\to \infty}x^{2n}=0\mbox{ se }-1<x<1.

Spero sia chiaro. emt
Ringraziano: CarFaby, mari.mari

Re: Serie numerica con arctan #82609

avt
mari.mari
Punto
Chiarissimo grazie mille! emt
Ringraziano: Ifrit
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Os