Integrale con ordine di errore e Taylor

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Integrale con ordine di errore e Taylor #82532

mari.mari Punto	Premesso che ho un serio problema con gli sviluppi di taylor, mi è capitato tra le mani questo esercizio in cui devo calcolare un integrale con un ordine di errore assegnato: Mi si chiede di calcolarlo con un errore di Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi passo passo come fare?

Integrale con ordine di errore e Taylor #82536

Galois

Amministratore

Ciao mari.mari. emt

Come hai ben intuito la prima cosa da fare è scrivere lo sviluppo in serie di Taylor della funzione integranda

Per ricavare lo sviluppo in serie di Taylor-Mc Laurin per tale funzione partiamo dallo sviluppo della funzione esponenziale

e^x = Σ_(n = 0)^(∞)(x^n)/(n!) = 1+x+(1)/(2)x^2+(1)/(6)x^3+...+(1)/(n!)x^n+o(x^n)

Da cui possiamo subito ricavare lo sviluppo di

andando a sostituire

al posto di

Poi, dallo sviluppo di

possiamo subito ricavare quello di

1-e^(-x) = 1-[1-x+(1)/(2)x^2-(1)/(6)x^3+...] = x-(1)/(2)x^2+(1)/(6)x^3+... = Σ_(n = 1)^(∞)(-1)^n(x^n)/(n!)

Ed infine, dividendo membro a membro per

Possiamo quindi integrare.

Difficilmente ti saranno chieste le motivazioni del precedente passaggio; ad ogni modo, in generale non è valido ma qui vale perché la serie di potenze considerata converge uniformemente sull'intervallo di integrazione. Qualora volessi approfondire ti basta leggere il seguente articolo sui teoremi di derivazione e integrazione per serie di potenze.

Una volta giunti a

Σ_(n = 1)^(∞)∫_(0)^(1)((-1)^(n-1)(x^(n-1))/(n!))dx