Integrale con ordine di errore e Taylor

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Integrale con ordine di errore e Taylor #82532

avt
mari.mari
Punto
Premesso che ho un serio problema con gli sviluppi di taylor, mi è capitato tra le mani questo esercizio in cui devo calcolare un integrale con un ordine di errore assegnato:

\int_{0}^{1}\left \frac{1-e^{-x}}{x} dx

Mi si chiede di calcolarlo con un errore di 10^{-2}

Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi passo passo come fare?
 
 

Integrale con ordine di errore e Taylor #82536

avt
Galois
Coamministratore
Ciao mari.mari. emt

Come hai ben intuito la prima cosa da fare è scrivere lo sviluppo in serie di Taylor della funzione integranda

f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x}

Per ricavare lo sviluppo in serie di Taylor-Mc Laurin per tale funzione partiamo dallo sviluppo della funzione esponenziale

e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+ ... + \frac{1}{n!}x^n+o(x^n)

Da cui possiamo subito ricavare lo sviluppo di e^{-x} andando a sostituire -x al posto di x.

e^{-x}=1-x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}x^3+ ... = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}=

Poi, dallo sviluppo di e^{-x} possiamo subito ricavare quello di

1-e^{-x}=1-\left[1-x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{6}x^3+...\right]=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+... = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}

Ed infine, dividendo membro a membro per x:

\frac{1-e^{-x}}{x}=\frac{x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...}{x}=1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x^2+...=

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n!}

Possiamo quindi integrare.

\int_{0}^{1}{\left(\frac{1-e^{-x}}{x}\right)dx}=

=\int_{0}^{1}{\left( \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n!} \right)dx}=

=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}{\left( (-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n!} \right)dx}

Difficilmente ti saranno chieste le motivazioni del precedente passaggio; ad ogni modo, in generale non è valido ma qui vale perché la serie di potenze considerata converge uniformemente sull'intervallo di integrazione. Qualora volessi approfondire ti basta leggere il seguente articolo sui teoremi di derivazione e integrazione per serie di potenze.

Una volta giunti a

\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{1}{\left( (-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n!} \right)dx}

sfruttando la linearità dell'integrale abbiamo

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!}\int_{0}^{1}{\left( x^{n-1} \right)dx}=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!}\left[\frac{1}{n}x^{n}\right]_{0}^{1}=

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n!} \cdot \frac{1}{n}

Non ci resta che scrivere esplicitamente i primi termini della serie, fermandoci al termine minore di 10^{-2}. Abbiamo quindi

1+ \left(-\frac{1}{2!}\right)\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} + ... =

Possiamo fermarci in quanto l'ultimo termine trovato ossia

\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18} = 0,0\overline{5}

= \frac{36-9+2}{36} = \frac{29}{36} \simeq 0,80

È tutto. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, mari.mari

Re: Integrale con ordine di errore e Taylor #82545

avt
mari.mari
Punto
grazie mille chiarissimo emt
Ringraziano: Galois
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Os