Sostegno e integrale con curva parametrica

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Sostegno e integrale con curva parametrica #82512

avt
pofferbacco
Punto
Buonasera! Avrei bisogno di aiuto per un esercizio sul sostegno e sull'integrale di una funzione lungo una curva parametrica:

\rho:\ \begin{cases}x = t\cos(t)\\ y = t\sin(t)\\ z = t\end{cases}\ \ \mbox{ con }t\in [0,2\pi]

L'esercizio chiede di:

1) determinare se la curva è regolare;
2) disegnare il sostegno;
3) calcolare l'integrale  \int_{\rho } f ds dove f denota la distanza dei punti sulla curva dall'asse z.

Ringrazio per l'attenzione.
Saluti
 
 

Re: Sostegno e integrale con curva parametrica #82530

avt
Omega
Amministratore
1) Partiamo dalla regolarità della curva parametrica assegnata dall'esercizio:

\rho(t)=(t\cos(t),t\sin(t),t)\ \ \mbox{con }t\in[0,2\pi]

In accordo con la definizione di curva regolare, devono valere due proprietà:

1) la funzione vettoriale \rho(t) che descrive il sostegno della curva deve avere componenti derivabili con continuità sull'intervallo di definizione. In parole povere, deve essere di classe C^1 sull'intervallo.

2) La derivata del vettore \rho'(t) non deve avere, in alcun punto dell'intervallo, entrambe le componenti nulle. In termini algebrici tale proprietà equivale a richiedere che ||\rho'(t)||^2\neq 0 su tutto l'intervallo di definizione.

Ok, passiamo alla verifica. emt

Le singole componenti \rho_i(t)[0,2\pi]\to\mathbb{R},\ i=1,2,3 della funzione vettoriale sono, ed è evidente, derivabili con continuità sull'intervallo [0,2\pi].

Riguardo alla seconda proprietà dobbiamo calcolare il vettore derivata. Niente di impegnativo, basta applicare la regola di derivazione del prodotto di due funzioni per le prime due componenti

\rho'(t)=(\cos(t)-t\sin(t),\sin(t)+t\cos(t),1)

Applicando la definizione di norma di un vettore, calcoliamo ||\rho'(t)||^2 e cerchiamo di stabilire se ||\rho'(t)||^2\neq 0 per ogni t\in [0,2\pi].

||\rho(t)||=\sqrt{(\cos(t)-t\sin(t))^2+(\sin(t)+t\cos(t))^2+1}=

=\sqrt{\cos^2(2)-2t\cos(t)\sin(t)+t^2\sin^2(t)+\sin^2(t)+2t\sin(t)\cos(t)+t^2\cos^2(t)+1}

applichiamo l'identità fondamentale della trigonometrica (formule trigonometriche) e semplifichiamo

=\sqrt{2+t^2}

Quindi

||\rho'(t)||^2=2+t^2\neq 0\ \forall t\in [0,2\pi]

Da notare che la precedente quantità non si annulla in alcun punto in quanto somma di una quantità non negativa e di una quantità positiva.

La curva è regolare. emt


2) Per disegnare il sostegno della curva (ossia per rappresentare la curva) puoi ragionare nel modo seguente. Le prime due componenti ricordano molto le coordinate polari, solo che il raggio nel nostro caso è variabile e varia come l'angolo. In parole povere abbiamo un cerchio che al crescere di t si allarga, vale a dire una spirale.

Ecco una rappresentazione della curva piana (t\cos(t),t\sin(t)) sull'intervallo [0,2\pi], giusto per farci un'idea

spirale piana


qui sull'intervallo [0,2\pi].

spirale piana 0,2pi


Tornando alla curva tridimensionale, anche la quota z varia come l'angolo e come il raggio. Non è difficile vedere che la spirale, sviluppandosi lungo le quote, segue la superficie di un cono.

Ecco la rappresentazione del suo sostegno su [0,2\pi]

elica conica 0,2pi


A titolo di cronaca, quella su [0,20\pi]

elica conica



3) Riguardo all'integrale

\int_{\rho } f ds

dobbiamo calcolare un integrale di linea di prima specie.

Scriviamo l'espressione analitica della funzione f(x,y,z), che descrive in ogni punto la distanza dei punti della curva dall'asse z. In parole povere dobbiamo considerare la norma della differenza tra un generico punto della curva e la sua proiezione sull'asse z:

f(x,y,z)=||(x,y,z)-(0,0,z)||=\sqrt{(x^2+y^2)}

In accordo con la definizione di integrale di linea di prima specie su un intervallo [a,b]

\int_{\rho } f ds=\int_{a}^{b} f(\rho(t)) ||\rho'(t)||dt=

esplicitamente

=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{t^2\cos^2(t)+t^2\sin^2(t)}\sqrt{2+t^2}dt=

=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{t^2}\sqrt{2+t^2}dt=

=\int_{0}^{2\pi} t\sqrt{2+t^2}dt=

(ho omesso il valore assoluto perché l'intervallo di integrazione è [0,2\pi])

Il precedente integrale è semplice da calcolare, basta ricordare la tabella degli integrali fondamentali ed in particolare l'integrale di una potenza

=\frac{1}{2}\left[\frac{(t^2+2)^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{2\pi}=

con un paio di semplici conticini

\frac{1}{3}(\sqrt{(4\pi^2+2)^3}-\sqrt{8})

Ecco fatto. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, pofferbacco

Re: Sostegno e integrale con curva parametrica #82538

avt
pofferbacco
Punto
Che guru !!
Siete dei grandi !!

namasté
Ringraziano: Omega
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Os