Serie parametrica con esponenziale, seno e coseno

Ciao, ho qualche difficoltà nello studio della seguente serie parametrica al variare di a:




La condizione di Cauchy è soddisfatta.

Riflettendo, credo che il criterio da utilizzare sia quello del confronto asintotico, il problema è come. Suppongo che debbano essere utilizzate le seguenti stime asintotiche:







Inizialmente avevo provato anche con il criterio del confronto ma non ero riuscito (causa anche l'n=2) a trovare una serie convergente che maggiorasse la serie di partenza.

È una serie a termini positivi? Io direi di no.

La mia difficoltà sta nell'utilizzare le stime asintotiche in presenza di piu funzioni tipo sin, cos, log, ecc...Insomma, qui brancolo nel buio!

Dunque, abbiamo la serie parametrica con



ed è immediato verificare che



per cui, come hai correttamente osservato, la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza è soddisfatta.


Tu vorresti applicare il criterio del confronto asintotico, ma:

- non sai se vale l'ipotesi di serie a termini positivi;

- non sai come studiare il comportamento asintotico del termine generale.

Rimediamo subito!

In primo luogo, tieni a mente che basta che la serie sia definitivamente a termini positivi. Ciò significa che basta che esista un intero per cui, per ogni , il termine generale risulti positivo.

Ovviamente ci basta l'esistenza di un tale , non ci interessa conoscerne il valore.

La serie inoltre può anche essere a termini definitivamente negativi. Raccogli un meno e ti riconduci al caso precedente.


Accantoniamo per un istante il discorso relativo al segno e studiamo il comportamento asintotico del termine generale, a prescindere da tutto il resto. Le tue considerazioni sul comportamento dei singoli termini sono corrette, come lo è pure il magheggio algebrico "somma e sottrai 1"







ma insufficienti, perché abbiamo una differenza tra due termini che coincidono al primo ordine di infinitesimo non nullo.

Esattamente come accade nel caso dei limiti di funzioni, ed in particolare con i limiti da risolvere con Taylor, anche qui dobbiamo protrarre l'analisi asintotica oltre il primo ordine di infinitesimo non nullo.

Nella pratica dobbiamo ricorrere a Taylor per studiare il comportamento della successione. Tutti i dettagli teorici relativi alla consistenza del metodo sono esposti nella lezione del precedente link.

Prendiamo la tabella degli sviluppi di Taylor-Mc Laurin e scriviamo gli sviluppi dei singoli termini. Partiamo da



Poi



Il termine esponenziale è delicato. Per sicurezza ci conviene procedere fino al quarto ordine



Ok, ricomponiamo il tutto





da cui



NOTA BENE: nella riscrittura mi sono fermato al terzo ordine, inglobando tutto il resto nel relativo o-piccolo, perché e evidente che non esiste un medesimo valore di che annulli entrambi i primi due termini. Se tale valore fosse esistito avremmo dovuto ripetere l'analisi asintotica oltre gli ordini considerati...

Abbiamo finalmente ricavato la tanto agognata equivalenza asintotica del termine generale per



Ora rimane la questione del segno del termine generale. Per capirci qualcosa di più, possiamo sfruttare le informazioni relative al comportamento asintotico del termine generale (ti ricordo che a noi interessa il segno assunto definitivamente dal termine generale):

- se , abbiamo un termine generale positivo e una serie asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata con esponente 3. La serie converge.

- Se , abbiamo un termine generale positivo e una serie asintoticamente equivalente alla serie armonica. La serie diverge.

- Se , abbiamo un termine generale negativo e una serie asintoticamente equivalente alla serie armonica. La serie diverge.

Grazie! Illuminante! Mi dimentico sempre degli sviluppi di Taylor...