Alcuni quesiti su sottospazi, endomorfismi e autovalori

Salve, ho dei quesiti di algebra lineare da sottoporre alla vostra attenzione; riuscireste per favore a darmi una mano?

1) È vero che l'intersezione di tre sottospazi vettoriali di uno stesso spazio vettoriale non è mai vuota?

2) È vero che il nucleo di un endomorfismo ha dimensione positiva, allora ogni vettore non nullo del nucleo è un autovettore di ?

3) Siano una retta e un piano dello spazio affine . È vero che se e sono paralleli, allora ogni retta di è parallela a ?

4) Dare la definizione di "base di uno spazio vettoriale ". È vero che se è una base dello spazio vettoriale , allora è una base di ?

5) È vero che il nucleo di un'applicazione lineare può essere l'insieme vuoto?

6) È vero che se ammette autovalori distinti, allora è diagonalizzabile?

Per ciascuna delle domande devo motivare la risposta. Grazie mille!

Ciao Altair91

Prima di cominciare, una premessa necessaria. Di norma i topic One-Shot prevedono di pubblicare topic che trattino un solo argomento/esercizio; in questo caso procedo ugualmente alla risposta, perché i quesiti proposti sono di semplice e rapida risoluzione. Potrebbero però cessare di esserlo a fronte di eventuali tue richieste di ulteriori chiarimenti, il che non solo prolungherebbe oltremodo il carico previsto per il topic, ma ci costringerebbe anche a mescolare diverse spiegazioni con il rischio che tu ci capisce ancora meno.

Se in futuro dovessi avere richieste così eterogenee ti chiederei la cortesia di scriverci prima di procedere all'acquisto, sottoponendoci l'insieme di domande.

Ora procediamo...

1) È vero che l'intersezione di tre sottospazi vettoriali di uno stesso spazio vettoriale non è mai vuota?

Per definizione, un qualsiasi sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale contiene il vettore nullo: .

Di conseguenza comunque presi sottospazi vettoriali di un assegnato spazio vettoriale, la loro intersezione non sarà mai l'insieme vuoto e alla peggio si ridurrà al sottospazio banale .

2) È vero che se il nucleo di un endomorfismo ha dimensione positiva, allora ogni vettore non nullo del nucleo è un autovettore di ?

Vero.

Dato un endomorfismo con nucleo di dimensione positiva

basta osservare che il nucleo è l'autospazio associato all'autovalore .

Infatti l'autospazio associato (sottospazio vettoriale degli autovettori associati) all'autovalore è per definizione

Di conseguenza l'endomorfismo ammette come autovalore e tutti i vettori del nucleo sono autovettori associati all'autovalore .

3) Siano una retta e un piano dello spazio affine . È vero che se e sono paralleli, allora ogni retta di è parallela a ?

Falso.

Una retta è parallela ad un piano di se e solo se la direzione della retta è ortogonale al vettore dei parametri direttori del piano .

Per definizione, il vettore dei parametri direttori di un piano individua la direzione ortogonale a tutte le direzioni del piano.

Immaginandosi la situazione geometricamente, data una retta parallela a non è difficile individuare le infinite rette che giacciono su e che non sono parallela ad .

4) Dare la definizione di "base di uno spazio vettoriale ". È vero che se è una base dello spazio vettoriale , allora è una base di ?

Per la prima parte della domanda ti rimando alla lezione che tratta la nozione di base di uno spazio vettoriale.

Seconda parte della domanda.

Dopo aver preso visione della lezione, ed aver digerito la definizione di base di uno spazio vettoriale come sistema di generatori dello spazio linearmente indipendenti, si tratta di stabilire se nell'ipotesi per cui è una base di , allora

è una base di .

La risposta alla domanda è immediata: no, non può essere una base di , perché nella nostra ipotesi ha dimensione e per un noto teorema qualsiasi base di deve necessariamente essere costituita da vettori.

Falso. Per definizione il nucleo di un'applicazione lineare contiene sempre il vettore nullo.

6) È vero che se ammette autovalori distinti, allora è diagonalizzabile?

Ci sono diversi possibili modi per rispondere a questa domanda, eccone uno: se ammette autovalori distinti, ciascuno di essi ha molteplicità algebrica 1.

La molteplicità algebrica di un autovalore è sempre maggiore-uguale della molteplicità geometrica del medesimo autovalore.

La molteplicità geometrica di un autovalore è per definizione positiva.

Di conseguenza nelle nostre ipotesi tutti gli autovalori della matrice hanno molteplicità algebrica e molteplicità geometrica pari ad 1.

Dato che:

- abbiamo autovalori (contati con la relativa molteplicità);

- per ciascun autovalore la molteplicità algebrica coincide con la molteplicità geometrica;

ne segue che è una matrice diagonalizzabile.