Alcuni quesiti su sottospazi, endomorfismi e autovalori

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Alcuni quesiti su sottospazi, endomorfismi e autovalori #82443

avt
altair91
Punto
Salve, ho dei quesiti di algebra lineare da sottoporre alla vostra attenzione; riuscireste per favore a darmi una mano?

1) È vero che l'intersezione di tre sottospazi vettoriali di uno stesso spazio vettoriale V non è mai vuota?

2) È vero che il nucleo di un endomorfismo f: V \to V ha dimensione positiva, allora ogni vettore non nullo del nucleo è un autovettore di f?

3) Siano r una retta e \pi un piano dello spazio affine \mathbb{A}^3(\mathbb{R}). È vero che se r e \pi sono paralleli, allora ogni retta di \pi è parallela a r?

4) Dare la definizione di "base di uno spazio vettoriale V". È vero che se \{v_1,v_2,...,v_n\} è una base dello spazio vettoriale V, allora C=\{v_1+v_2,...,v_1+v_n\} è una base di V?

5) È vero che il nucleo di un'applicazione lineare può essere l'insieme vuoto?

6) È vero che se A\in M_{n,n}(\mathbb{C}) ammette n autovalori distinti, allora A è diagonalizzabile?

Per ciascuna delle domande devo motivare la risposta. Grazie mille!
 
 

Alcuni quesiti su sottospazi, endomorfismi e autovalori #82456

avt
Omega
Amministratore
Ciao Altair91 emt

Prima di cominciare, una premessa necessaria. Di norma i topic One-Shot prevedono di pubblicare topic che trattino un solo argomento/esercizio; in questo caso procedo ugualmente alla risposta, perché i quesiti proposti sono di semplice e rapida risoluzione. Potrebbero però cessare di esserlo a fronte di eventuali tue richieste di ulteriori chiarimenti, il che non solo prolungherebbe oltremodo il carico previsto per il topic, ma ci costringerebbe anche a mescolare diverse spiegazioni con il rischio che tu ci capisce ancora meno.

Se in futuro dovessi avere richieste così eterogenee ti chiederei la cortesia di scriverci prima di procedere all'acquisto, sottoponendoci l'insieme di domande. emt

Ora procediamo... emt


1) È vero che l'intersezione di tre sottospazi vettoriali di uno stesso spazio vettoriale V non è mai vuota?

Per definizione, un qualsiasi sottospazio vettoriale S\subseteq V di uno spazio vettoriale V contiene il vettore nullo: \underline{0}_V\in S.

Di conseguenza comunque presi n sottospazi vettoriali di un assegnato spazio vettoriale, la loro intersezione non sarà mai l'insieme vuoto e alla peggio si ridurrà al sottospazio banale \{\underline{0}_V\}.


2) È vero che se il nucleo di un endomorfismo f: V \to V ha dimensione positiva, allora ogni vettore non nullo del nucleo è un autovettore di f?

Vero.

Dato un endomorfismo con nucleo di dimensione positiva

dim(Ker(f))>0

basta osservare che il nucleo è l'autospazio associato all'autovalore \lambda=0.

Infatti l'autospazio associato (sottospazio vettoriale degli autovettori associati) all'autovalore \lambda=0 è per definizione

Ker( f -\lambda I)=Ker( f-0 I )=Ker(f)

Di conseguenza l'endomorfismo ammette come autovalore \lambda=0 e tutti i vettori del nucleo sono autovettori associati all'autovalore \lambda=0.


3) Siano r una retta e \pi un piano dello spazio affine \mathbb{A}^3(\mathbb{R}). È vero che se r e \pi sono paralleli, allora ogni retta di \pi è parallela a r?

Falso.

Una retta r è parallela ad un piano \pi di \mathbb{A}_3(\mathbb{R}) se e solo se la direzione della retta rè ortogonale al vettore dei parametri direttori del piano \pi.

Per definizione, il vettore dei parametri direttori di un piano individua la direzione ortogonale a tutte le direzioni del piano.

Immaginandosi la situazione geometricamente, data una retta r parallela a \pi non è difficile individuare le infinite rette che giacciono su \pi e che non sono parallela ad r.


4) Dare la definizione di "base di uno spazio vettoriale V". È vero che se \{v_1,v_2,...,v_n\} è una base dello spazio vettoriale V, allora C=\{v_1+v_2,...,v_1+v_n\} è una base di V?

Per la prima parte della domanda ti rimando alla lezione che tratta la nozione di base di uno spazio vettoriale.

Seconda parte della domanda.

Dopo aver preso visione della lezione, ed aver digerito la definizione di base di uno spazio vettoriale come sistema di generatori dello spazio linearmente indipendenti, si tratta di stabilire se nell'ipotesi per cui \{v_1,v_2,...,v_n\} è una base di V, allora

C=\{v_1+v_2,...,v_1+v_n\}

è una base di V.

La risposta alla domanda è immediata: no, non può essere una base di V, perché nella nostra ipotesi V ha dimensione n e per un noto teorema qualsiasi base di V deve necessariamente essere costituita da n vettori.


5) È vero che il nucleo di un'applicazione lineare può essere l'insieme vuoto?

Falso. Per definizione il nucleo di un'applicazione lineare contiene sempre il vettore nullo.


6) È vero che se A\in M_{n,n}(\mathbb{C}) ammette n autovalori distinti, allora A è diagonalizzabile?

Ci sono diversi possibili modi per rispondere a questa domanda, eccone uno: se A ammette n autovalori distinti, ciascuno di essi ha molteplicità algebrica 1.

La molteplicità algebrica di un autovalore è sempre maggiore-uguale della molteplicità geometrica del medesimo autovalore.

La molteplicità geometrica di un autovalore è per definizione positiva.

Di conseguenza nelle nostre ipotesi tutti gli autovalori della matrice hanno molteplicità algebrica e molteplicità geometrica pari ad 1.

Dato che:

- abbiamo n autovalori (contati con la relativa molteplicità);

- per ciascun autovalore la molteplicità algebrica coincide con la molteplicità geometrica;

ne segue che M è una matrice diagonalizzabile.
Ringraziano: Galois, CarFaby
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