Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x)

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Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x) #82396

avt
paimezzi
Cerchio
Ciao! Devo risolvere un'equazione del secondo ordine con termine noto sin(x), la seguente

y''+2y'+3y=\sin(t)


Io ho cercato di risolverla cosi:

1) trovo la soluzione dell'omogenea associata

y''+2y'+3y=0

quindi

\lambda^2+2\lambda+3=0

\lambda_1 = -1-i\sqrt{2}, \ \lambda_2 = -1+i\sqrt{2}

y_{O}(t)= c_{1}e^{-t}\cos(\sqrt{2}t)+c_{2}e^{-t}\sin(\sqrt{2}t)

2) Compongo il sistema con le equazioni che vengono fuori con il metodo di Lagrange e mi blocco. Come si risolve il sistema? Con Cramer non ci sono riuscito.

Grazie
 
 

Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x) #82398

avt
Galois
Amministratore
Ciao paimezzi emt

Prima di procedere con la risposta ti chiedo: hai studiato il metodo di somiglianza?

Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x) #82400

avt
paimezzi
Cerchio
Ce lo hanno "accennato" etichettandolo con "tanto non lo userete mai" emt
Però se è il metodo piu corretto per risolvere l'equazione, suppongo che io debba essere in grado di utilizzarlo. Poi se ho capito bene è anche l'unico metodo per arrivare alla soluzione no?

Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x) #82401

avt
Galois
Amministratore
Ce lo hanno "accennato" etichettandolo con "tanto non lo userete mai"

Oh my god! emt Per quanto mi riguarda è invece uno dei metodi più utilizzati, quindi sarebbe d'obbligo saperlo..

Però se è il metodo più corretto per risolvere l'equazione, suppongo che io debba essere in grado di utilizzarlo

Non esattamente.. Diciamo che è il metodo più veloce quindi sì, è bene saperlo..

Poi se ho capito bene è anche l'unico metodo per arrivare alla soluzione no?

Non proprio.. Il metodo di somiglianza (che trovi ben spiegato nella lezione del link) si applica solo se il termine noto è di un certo tipo. Negli altri casi si ricorre al metodo di Lagrange o metodo del Wronskiano che si può utilizzare sempre anche quando il termine noto è di tipo particolare. L'unica sostanziale differenza è che, quando è applicabile, il metodo di somiglianza riduce il carico di conti di almeno il 60% (e non sto esagerando)..

Detto ciò a te la scelta. Con quale metodo procediamo? Da matematico, indubbiamente, opterei per il metodo di somiglianza.. (meno conti e meno fatica). emt

A parte gli scherzi, come hai già avuto modo di vedere da solo, il metodo di Lagrange, in questo caso, fa venir fuori conti davvero proibitivi e lo sconsiglio assolutamente.

Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x) #82405

avt
paimezzi
Cerchio
La tua affermazione "il metodo di somiglianza riduce il carico di conti di almeno il 60%" mi ha totalmente convinto a procedere con tale metodo. emt

Se per te va bene io farei cosi: guardo bene le vostre lezioni, provo a risolverlo e poi ti posto il mio procedimento cosi puoi darci un'occhiata e dirmi se è corretto.

Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x) #82406

avt
Galois
Amministratore
Perfetto. emt

Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x) #82408

avt
paimezzi
Cerchio
Allora:
nel mio caso il termine noto g(t) è nella forma sin(Bt)Q(t), con B=1 e Q(t)=0.
Come scritto nel primo post, trovo la soluzione dell'omogenea associata.

1 .Controllo se iB (in questo caso i) è radice del polinomio caratteristico
(Lambda)^2+2Lambda+3=0

2. non è radice. Quindi la soluzine della non omogenea è:
y*(t)=cos(t)+sin(t); visto che i polinomi Q*(t), R(t)=0.

3. La soluzione finale dovrebbe essere y(t)=yO(t) + y*(t)
yO(t) è scritta nel primo post.


Ho provato ha risolvere l'equazione anche su WolframAlpha e la parte della soluzione riguardante l'omogenea sembra corretta, mentre quella riguardante la non omogenea no. emt

Attendo illuminazione

Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x) #82409

avt
Galois
Amministratore
Eccoci. emt

Ci sei quasi. Ad ogni modo rivediamo il procedimento dall'inizio. Metterò man mano in evidenza ciò che sbagli. emt

Per trovare l'integrale generale della seguente equazione differenziale (non omogenea, del secondo ordine e a coefficienti costanti)

 y''+2y'+3y = \sin(t)

troviamo, innanzitutto, una soluzione per l'equazione differenziale omogenea del secondo ordine ad essa associata

 y''+2y'+3y = 0

Come hai ben fatto il polinomio caratteristico ad essa associato

 \lambda^2+2\lambda+3

ha come zeri i due numeri complessi

 \lambda_1=-1-\sqrt{2}i, \ \lambda_2=-1+\sqrt{2}i

pertanto l'integrale generale dell'omogenea è dato da

 y_O(t)=c_1e^{-t}\cos(\sqrt{2}t) + c_2 e^{-t} \sin(\sqrt{2}t)

Troviamo ora una soluzione particolare della non omogenea. Osserviamo il termine noto. Come ben dici è del tipo

g(t)=Q(t)\sin(\beta t)

con attenzione Q(t)=1 (polinomio di grado zero) e \beta=1

Quindi qui l'errore. Se fosse, come dici tu, Q(t)=0 allora, indubbiamente, Q(t) \sin(\beta t)=0 il che non è vero.

Continuiamo. Essendo il termine noto di tipo particolare procediamo con il metodo di somiglianza.

Apri la lezione del link in una nuova scheda e tienila sottomano. Come puoi osservare il metodo di procedere varia a seconda del termine noto che abbiamo davanti. Nel caso specifico dovrai andare al paragrafo che tratta i termini noti del tipo

 Q(t)\sin(\beta t) \mbox{ oppure } Q(t)\cos(\beta t) .


Dal momento che, come hai ben osservato, i\beta = i non è una radice del polinomio caratteristico la soluzione della non omogenea sarà del tipo

\overline{y}(t)=\cos(\beta t)\overline{Q}(t) + \sin(\beta t) R(t)


con \beta=1 \mbox{ e } \overline{Q}(t) \mbox{ e } R(t) polinomi dello stesso grado di Q(t)

Poiché, come già osservato, \beta=1 e Q(t) è un polinomio di grado zero, la soluzione particolare sarà del tipo

\overline{y}(t)=A\cos(t) + B\sin(t)

dove A \mbox{ e } B stanno a rappresentare i due polinomi di grado zero \overline{Q}(t) \mbox{ e } R(t)

A questo punto deriviamo la soluzione particolare trovata fino all'ordine 2 (ordine massimo che compare nell'equazione di partenza)

\overline{y}'(t) = -A \sin(t)+B\cos(t)

\overline{y}''(t) = -A \cos(t)-B\sin(t)

ed andiamo a sostituire nell'equazione di partenza

 -A\cos(t)-B\sin(t) + 2\left[-A\sin(t)+B\cos(t)\right]+3\left[A\cos(t)+B\sin(t)\right]=\sin(t)

Svolgendo i semplici prodotti e sommando i termini simili si ha

 2A\cos(t) +2B\sin(t) - 2A\sin(t)+2B\cos(t)=\sin(t)

che riscriviamo come

 (2A+2B)\cos(t) + (2B-2A) \sin(t) =\sin(t)

A questo punto, per il principio di identità dei polinomi possiamo impostare il seguente sistema lineare

 \begin{cases} 2A+2B=0 \\ 2B-2A=1\end{cases}

 \begin{cases} A+B=0 \\ B-A=\frac{1}{2}\end{cases}

Procediamo con il metodo di sostituzione per i sistemi lineari

 \begin{cases} B=-A \\ -2A=\frac{1}{2}\end{cases}

 \begin{cases} B=-A \\ A=-\frac{1}{4}\end{cases}

 \begin{cases} B=\frac{1}{4} \\ A=-\frac{1}{4}\end{cases}

La soluzione particolare è quindi

\overline{y}(t)=A\cos(t) + B\sin(t)=

=-\frac{1}{4}\cos(t) + \frac{1}{4}\sin(t)

Possiamo quindi concludere che l'integrale generale dell'equazione di partenza è dato da

y(t)=y_{O}(t)+\overline{y}(t)=

= c_1e^{-t}\cos(\sqrt{2}t) + c_2 e^{-t} \sin(\sqrt{2}t) -\frac{1}{4}\cos(t) + \frac{1}{4}\sin(t)

È tutto. emt

Per prendere maggiore confidenza con questo metodo ti invito a dare un'occhiata agli esercizi risolti sul metodo di somiglianza per equazioni differenziali - click!
Ringraziano: Ifrit, paimezzi

Equazione del secondo ordine con termine noto sin(x) #82410

avt
paimezzi
Cerchio
Tutto chiarissimo come sempre. Ho capito il procedimento! Ora seguirò il tuo consiglio e proverò a risolvere gli esercizi gia trattati su YM.

Grazie mille!
Ringraziano: Galois
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Os