Integrale definito di funzione razionale con valore assoluto

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Integrale definito di funzione razionale con valore assoluto #82377

avt
Fabio93
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per un integrale di una funzione razionale con valore assoluto.

Ecco la traccia: calcolare il seguente integrale definito

\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\frac{2|x-1|}{1-|x-1|(x-1)}dx
 
 

Re: Integrale definito di funzione razionale con valore assoluto #82381

avt
Galois
Coamministratore
Ciao Fabio. emt

Per calcolare il seguente integrale definito

 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{2|x-1|}{1-|x-1|(x-1)}\right)dx}

cerchiamo di sbarazzarci dello scomodo valore assoluto. Come fare? Innanzitutto per definizione di valore assoluto abbiamo che

 |x-1| = \begin{cases}x-1 \mbox{ se } x\ge 1 \\ 1-x \mbox{ se } x<1\end{cases}

Possiamo allora sfruttare la proprietà di additività dell'integrale di Riemann e riscrivere l'integrale come somma di due integrali

 \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\left(\frac{2(1-x)}{1-(1-x)(x-1)}\right)dx} + \int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{2(x-1)}{1-(x-1)(x-1)}\right)dx}

I due integrali in cui siamo ricaduti sono due integrali fondamentali. Per vederlo basta svolgere i prodotti a denominatore e numeratore e svolgere i banalissimi conti algebrici che vengono fuori. Procediamo con ordine. emt

 \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\left(\frac{2(1-x)}{1-(1-x)(x-1)}\right)dx} = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\left(\frac{2-2x}{1-(x-1-x^2+x)}\right)dx}=

= \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\left(\frac{2-2x}{x^2-2x+2}\right)dx}

Osserviamo che, a meno del segno, il numeratore è la derivata del denominatore. Riscriviamo allora l'integrale come

= -\int_{\frac{1}{2}}^{1}{\left(\frac{2x-2}{x^2-2x+2}\right)dx}=-\left[\log|x^2-2x+2|\right]_{\frac{1}{2}}^{1}=

=-\left(\log\left|1-2+2\right| - \log\left|\frac{1}{4}-1+2\right|\right)=

=\log\left(\frac{5}{4}\right)

Procedendo allo stesso modo

 \int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{2(x-1)}{1-(x-1)^2}\right)dx} = \int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{2x-2}{1-(x^2-2x+1)}\right)dx}=

 = \int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{2x-2}{-x^2+2x}\right)dx}=

= -\int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{-2x+2}{-x^2+2x}\right)dx}=-\left[\log|-x^2+2x|\right]_{1}^{\frac{3}{2}}=

=-\left[\log\left(-\frac{9}{4}+3\right) - \log (-1+2)\right]=-\log\left(\frac{3}{4}\right)

Possiamo così concludere che

 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{2|x-1|}{1-|x-1|(x-1)}\right)dx}=

 = \int_{\frac{1}{2}}^{1}{\left(\frac{2(1-x)}{1-(1-x)(x-1)}\right)dx} + \int_{1}^{\frac{3}{2}}{\left(\frac{2(x-1)}{1-(x-1)(x-1)}\right)dx} =

=\log\left(\frac{5}{4}\right) - \log\left(\frac{3}{4}\right)=\log\left(\frac{5}{3}\right)

Nell'ultimo passaggio ho utilizzato una proprietà dei logaritmi. È tutto. emt
Ringraziano: Omega
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Os