Integrale definito di funzione razionale con valore assoluto

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Integrale definito di funzione razionale con valore assoluto #82377

avt
Fabio93
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per un integrale di una funzione razionale con valore assoluto.

Ecco la traccia: calcolare il seguente integrale definito

∫_((1)/(2))^((3)/(2))(2|x-1|)/(1-|x-1|(x-1))dx
 
 

Re: Integrale definito di funzione razionale con valore assoluto #82381

avt
Galois
Amministratore
Ciao Fabio. emt

Per calcolare il seguente integrale definito

∫_((1)/(2))^((3)/(2))((2|x-1|)/(1-|x-1|(x-1)))dx

cerchiamo di sbarazzarci dello scomodo valore assoluto. Come fare? Innanzitutto per definizione di valore assoluto abbiamo che

|x-1| = x-1 se x ≥ 1 ; 1-x se x < 1

Possiamo allora sfruttare la proprietà di additività dell'integrale di Riemann e riscrivere l'integrale come somma di due integrali

∫_((1)/(2))^(1)((2(1-x))/(1-(1-x)(x-1)))dx+∫_(1)^((3)/(2))((2(x-1))/(1-(x-1)(x-1)))dx

I due integrali in cui siamo ricaduti sono due integrali fondamentali. Per vederlo basta svolgere i prodotti a denominatore e numeratore e svolgere i banalissimi conti algebrici che vengono fuori. Procediamo con ordine. emt

∫_((1)/(2))^(1)((2(1-x))/(1-(1-x)(x-1)))dx = ∫_((1)/(2))^(1)((2-2x)/(1-(x-1-x^2+x)))dx =

= ∫_((1)/(2))^(1)((2-2x)/(x^2-2x+2))dx

Osserviamo che, a meno del segno, il numeratore è la derivata del denominatore. Riscriviamo allora l'integrale come

= -∫_((1)/(2))^(1)((2x-2)/(x^2-2x+2))dx = -[log|x^2-2x+2|]_((1)/(2))^(1) =

= -(log|1-2+2|-log|(1)/(4)-1+2|) =

= log((5)/(4))

Procedendo allo stesso modo

∫_(1)^((3)/(2))((2(x-1))/(1-(x-1)^2))dx = ∫_(1)^((3)/(2))((2x-2)/(1-(x^2-2x+1)))dx =

= ∫_(1)^((3)/(2))((2x-2)/(-x^2+2x))dx =

= -∫_(1)^((3)/(2))((-2x+2)/(-x^2+2x))dx = -[log|-x^2+2x|]_(1)^((3)/(2)) =

= -[log(-(9)/(4)+3)-log (-1+2)] = -log((3)/(4))

Possiamo così concludere che

∫_((1)/(2))^((3)/(2))((2|x-1|)/(1-|x-1|(x-1)))dx =

= ∫_((1)/(2))^(1)((2(1-x))/(1-(1-x)(x-1)))dx+∫_(1)^((3)/(2))((2(x-1))/(1-(x-1)(x-1)))dx =

= log((5)/(4))-log((3)/(4)) = log((5)/(3))

Nell'ultimo passaggio ho utilizzato una proprietà dei logaritmi. È tutto. emt
Ringraziano: Omega
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Os