Limite di successione fratta con log e radice

Calcolare il limite per n che tende a infinito della seguente successione con logaritmo e radice



Grazie mille

Ciao Luisa9

Il limite di successione che hai proposto non è difficile, richiede solamente di sapere quali sono gli ordini di infinito di successioni e di quali infiniti siano preponderanti rispetto agli altri.

Trovi tutta la teoria nella lezione sul confronto tra infiniti di successioni, ivi compresa una tabella che mette in relazione le varie tipologie di infinito indicandone la preponderanza.

Il discorso - bada bene - è in tutto e per tutto analogo rispetto al confronto tra infiniti nel contesto dei limiti di funzioni.

Ora bando alle ciance e procediamo.



Ti mostro come procedere in due modi equivalenti. Il primo è meccanico ed è preferibile per chi ha poca dimestichezza con il confronto tra infiniti; il secondo è una versione del primo ridotta all'osso, ed è preferibile per chi ha acquisito una buona dimestichezza con i ragionamenti che stanno alla base del confronto tra infiniti.


PRIMO METODO

Dividiamo termine a termine il rapporto





semplifichiamo nel secondo addendo



e riscriviamo il denominatore del primo addendo ricorrendo alla definizione di radicale



Ok, abbiamo finito! Infatti per confronto tra infiniti di successioni sappiamo che genera un infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi potenza con reale e positivo.

Dunque il primo addendo tende a zero, perché l'infinitesimo di ordine superiore si trova al denominatore ed in definitiva il limite vale




SECONDO METODO

Non servono particolari calcoli. Basta guardare il limite dritto negli occhi



e osservare che a numeratore l'infinito di ordine superiore tra i due addendi è , quindi l'addendo che genera l'infinito di ordine inferiore è trascurabile.

In questo modo passiamo al limite equivalente



ed ecco fatto.


NOTA BENE: ti suggerisco di dare un'occhiata alla scheda di esercizi risolti sui limiti di successioni con infiniti, ti tornerà sicuramente utile.