Limite di successione fratta con log e radice

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Limite di successione fratta con log e radice #82312

avt
Luisa9
Punto
Calcolare il limite per n che tende a infinito della seguente successione con logaritmo e radice

\lim_{n\to +\infty}\frac{\log(n) +6\sqrt{n}}{\sqrt{n}}

Grazie mille emt
 
 

Limite di successione fratta con log e radice #82318

avt
Omega
Amministratore
Ciao Luisa9 emt

Il limite di successione che hai proposto non è difficile, richiede solamente di sapere quali sono gli ordini di infinito di successioni e di quali infiniti siano preponderanti rispetto agli altri.

Trovi tutta la teoria nella lezione sul confronto tra infiniti di successioni, ivi compresa una tabella che mette in relazione le varie tipologie di infinito indicandone la preponderanza.

Il discorso - bada bene - è in tutto e per tutto analogo rispetto al confronto tra infiniti nel contesto dei limiti di funzioni.

Ora bando alle ciance e procediamo. emt

\lim_{n\to +\infty}\frac{\log(n) +6\sqrt{n}}{\sqrt{n}}

Ti mostro come procedere in due modi equivalenti. Il primo è meccanico ed è preferibile per chi ha poca dimestichezza con il confronto tra infiniti; il secondo è una versione del primo ridotta all'osso, ed è preferibile per chi ha acquisito una buona dimestichezza con i ragionamenti che stanno alla base del confronto tra infiniti.


PRIMO METODO

Dividiamo termine a termine il rapporto

\lim_{n\to +\infty}\frac{\log(n) +6\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=

=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\log(n)}{\sqrt{n}} +\frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\right)=

semplifichiamo nel secondo addendo

=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\log(n)}{\sqrt{n}} +6\right)=

e riscriviamo il denominatore del primo addendo ricorrendo alla definizione di radicale

=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\log(n)}{n^{\frac{1}{2}}} +6\right)=

Ok, abbiamo finito! emt Infatti per confronto tra infiniti di successioni sappiamo che \log(n) genera un infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi potenza n^{\beta} con \beta reale e positivo.

Dunque il primo addendo tende a zero, perché l'infinitesimo di ordine superiore si trova al denominatore ed in definitiva il limite vale

=\lim_{n\to +\infty}\left(\frac{\log(n)}{n^{\frac{1}{2}}} +6\right)=0+6=6


SECONDO METODO

Non servono particolari calcoli. Basta guardare il limite dritto negli occhi

\lim_{n\to +\infty}\frac{\log(n) +6\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=

e osservare che a numeratore l'infinito di ordine superiore tra i due addendi è \sqrt{n}, quindi l'addendo che genera l'infinito di ordine inferiore è trascurabile.

In questo modo passiamo al limite equivalente

=\lim_{n\to +\infty}\frac{6\sqrt{n}}{\sqrt{n}}=6

ed ecco fatto. emt


NOTA BENE: ti suggerisco di dare un'occhiata alla scheda di esercizi risolti sui limiti di successioni con infiniti, ti tornerà sicuramente utile. emt
Ringraziano: Ifrit, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os