Retta tangente nel punto con ascissa minima soluzione positiva

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Retta tangente nel punto con ascissa minima soluzione positiva #82300

avt
Luisa9
Punto
Ciao, vi scrivo per un problema sull'equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto da determinare come soluzione di un'equazione.

Data la funzione F(x) = -x\cos\left(\frac{x}{6}\right) calcolare l'equazione della tangente al grafico nel punto (r,0) dove r è il minimo x>0 tale che F(x) = 0.

Grazie emt
 
 

Retta tangente nel punto con ascissa minima soluzione positiva #82307

avt
Omega
Amministratore
Ciao Luisa9 emt

Il primo step dell'esercizio prevede di determinare le soluzioni dell'equazione

-x\cos\left(\frac{x}{6}\right)=0

che, in forza della legge di annullamento del prodotto, si traduce in

x=0

\cos\left(\frac{x}{6}\right)=0

Possiamo già scartare la prima soluzione perché la traccia ci impone di considerare la minima ascissa positiva che risolve l'equazione. Passiamo all'equazione goniometrica

\cos\left(\frac{x}{6}\right)=0

Il coseno si annulla nei punti della forma \frac{\pi}{2}+k\pi al variare di k nell'insieme dei numeri relativi, per cui tutte e sole le soluzioni di tale equazione sono date da

\frac{x}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

ossia

x=\frac{6\pi}{2}+6k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

ossia

x=3\pi+6k\pi\ \ \ \mbox{con }k\in\mathbb{Z}

Il più piccolo valore positivo tra quelli considerati si ottiene per k=0, vale a dire

r=3\pi


Ok. emt A questo punto possiamo riscrivere la traccia dell'esercizio come segue: determinare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione F(x)=-x\cos\left(\frac{x}{6}\right) nel punto (3\pi,0).

Nella lezione del precedente link è spiegato il metodo generale da seguire, in buona sostanza la retta tangente avrà equazione della forma

y-y_0=m(x-x_0)

dove (x_0,y_0) è un qualsiasi punto della retta e m il suo coefficiente angolare.

Dalla teoria sappiamo che il coefficiente angolare è proprio la valutazione della derivata della funzione nell'ascissa del punto di tangenza, in simboli

m=F'(3\pi)

mentre come punto di passaggio possiamo prendere il punto di tangenza stesso

(x_0,y_0)=(3\pi,0)

Per arrivare all'equazione della tangente ci serve dunque l'espressione della derivata della funzione. Calcoliamola... emt

F(x)=-x\cos\left(\frac{x}{6}\right)

F'(x)=?

Usiamo la regola di derivazione del prodotto di due funzioni

F'(x)=\frac{d}{dx}[-x]\cdot \cos\left(\frac{x}{6}\right)+(-x)\cdot \frac{d}{dx}\left[\cos\left(\frac{x}{6}\right)\right]

L'unico termine che richiede un filo d'attenzione è quello relativo al secondo addendo, per il quale dobbiamo applicare il teorema di derivazione della funzione composta

F'(x)=(-1)\cdot \cos\left(\frac{x}{6}\right)+(-x)\cdot \left(-\sin\left(\frac{x}{6}\right)\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{x}{6}\right]\right)

da cui

F'(x)=(-1)\cdot \cos\left(\frac{x}{6}\right)+(-x)\cdot \left(-\sin\left(\frac{x}{6}\right)\cdot \frac{1}{6}\right)

Riscriviamo il tutto in una forma più compatta

F'(x)=-\cos\left(\frac{x}{6}\right)+\frac{x}{6}\sin\left(\frac{x}{6}\right)

Valutando la derivata nell'ascissa del punto di tangenza ricaviamo

F'(3\pi)=-\cos\left(\frac{3\pi}{6}\right)+\frac{3\pi}{6}\sin\left(\frac{3\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{2}

per cui la retta tangente ha equazione

y-0=\frac{\pi}{2}(x-3\pi)

ossia

y=\frac{\pi}{2}x-\frac{3}{2}\pi^2


Un piccolo grafico a titolo esemplificativo non guasta mai emt

retta tangente nella soluzione
Ringraziano: Galois, CarFaby

Retta tangente nel punto con ascissa minima soluzione positiva #82308

avt
Luisa9
Punto
Grazie mille, siete stati molto gentili e precisi emt
Ringraziano: Omega
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Os