Limite di una successione integrale con parametro

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Limite di una successione integrale con parametro #82264

avt
mari.mari
Punto
Hi guys! Sto riscontrando problemi con il limite di una successione integrale con parametro.

Mi si chiede calcolare l'integrale al variare del parametro alpha

\lim_{n\to+\infty} n^{\alpha} \int_{n-1}^{n}\left(e^\frac{-x^2}{n}\right)dx

Qualcuno potrebbe aiutarmi, please?
 
 

Limite di una successione integrale con parametro #82271

avt
Galois
Coamministratore
Ciao mari.mari emt

Più di un integrale, devi calcolare il limite di una successione, nel caso specifico della successione di termine generale

a_n=n^{\alpha} \int_{n-1}^{n}\left(e^\frac{-x^2}{n}\right)dx

Per come sono definite le potenze ad esponente negativo possiamo riscriverla come

a_n=n^{\alpha} \int_{n-1}^{n}\left(\frac{1}{e^\frac{x^2}{n}}\right)dx

Ora, lasciamo per un momento da parte n^{\alpha} e concentriamo la nostra attenzione sulla successione di termine generale

\int_{n-1}^{n}\left(\frac{1}{e^\frac{x^2}{n}}\right)dx

Fissato n, è facile vedere che la funzione integranda è monotona strettamente decrescente per x\geq 0. Per il significato geometrico dell'integrale di Riemann possiamo effettuare la seguente maggiorazione:

\int_{n-1}^{n}\left(\frac{1}{e^\frac{x^2}{n}}\right)dx \ge \frac{1}{e^{\frac{n^2}{n}}} \cdot 1 = \frac{1}{e^n}

Ossia ho sostituito n (estremo di integrazione maggiore) al posto della variabile x di integrazione. 1 indica invece l'ampiezza dell'intervallo di integrazione.

Allo stesso modo (sostituendo n-1 al posto di x):

\int_{n-1}^{n}\left(\frac{1}{e^\frac{x^2}{n}}\right)dx \le \frac{1}{e^{\frac{(n-1)^2}{n}}} \cdot 1 = \frac{1}{e^\frac{n^2-2n+1}{n}}

Abbiamo allora:

\frac{1}{e^n}  \le \int_{n-1}^{n}\left(\frac{1}{e^\frac{x^2}{n}}\right)dx \le \frac{1}{e^\frac{n^2-2n+1}{n}}

Ossia, moltiplicando tutti i membri per la quantità positiva n^{\alpha}, ricadiamo nella catena di disuguaglianze:

\frac{n^{\alpha}}{e^n} \le n^{\alpha} \int_{n-1}^{n}\left(\frac{1}{e^\frac{x^2}{n}}\right)dx \le \frac{n^{\alpha}}{e^\frac{n^2-2n+1}{n}}

Ora, grazie ad un semplicissimo confronto tra infiniti:

\lim_{n\to +\infty} \left[\frac{n^{\alpha}}{e^n}\right] = 0 \ \forall \alpha \in \mathbb{R}

\lim_{n\to +\infty } \left[\frac{n^{\alpha}}{e^\frac{n^2-2n+1}{n}}\right]=0 \ \forall \alpha \in \mathbb{R}

Per il teorema del confronto per successioni possiamo allora concludere che

\lim_{n\to +\infty} n^{\alpha } \int_{n-1}^{n} e^{\frac{-x^{2}}{n}} dx = 0

per ogni valore di \alpha \in \mathbb{R}.

È tutto. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby, mari.mari

Re: Limite di una successione integrale con parametro #82368

avt
mari.mari
Punto
Grazie mille, tutto chiarissimo! emt
Ringraziano: Omega, Galois
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Os