Serie con arcotangente e esponente con parametro

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Serie con arcotangente e esponente con parametro #82194

avt
mari.mari
Punto
Salve gente! Non riesco a risolvere questa serie con l'arcotangente e con esponente parametrico, anche se magari alla fine è banale.

Dice di studiarne la convergenza al variare del parametro x, con x diverso da 2

\sum_{n=1}^{+\infty} n\arctan(n^{\frac{x-1}{2-x}})
 
 

Serie con arcotangente e esponente con parametro #82213

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mari.mari emt

La prima osservazione riguarda il segno del termine generale della serie: abbiamo il prodotto tra un intero e un'arcotangente, che di per sé è positiva sul semiasse dei reali positivi.

L'argomento dell'arcotangente è una potenza, perché il parametro x si intende fissato, ed ha base positiva. Comunque prenderemo n,x l'argomento dell'arcotangente sarà sempre positivo.

Abbiamo a che fare con una serie a termini positivi, la quale deve necessariamente divergere o convergere.

\sum_{n=1}^{+\infty} n\arctan\left(n^{\frac{x-1}{2-x}}\right)

Per studiarne il carattere dobbiamo capire qual è il comportamento asintotico del termine generale a seconda del valore assunto da x. Focalizzandoci sul termine

n^{\frac{x-1}{2-x}}

è facile vedere che ci sono tre possibilità:

- se l'esponente è positivo, tende a +\infty per n\to +\infty;

- se l'esponente è nullo, vale identicamente 1 per ogni n;

- se l'esponente è negativo, tende a zero per n\to +\infty.


***** Se l'ultimo caso non ti convince, ragiona come segue. Chiama il termine n^{f(x)} e osserva che se f(x) è negativo, allora -f(x) è positivo, quindi grazie ad una nota proprietà delle potenze puoi riscriverlo come

n^{f(x)}=\frac{1}{n^{-f(x)}}

qui -f(x) è positivo e al tendere di n\to +\infty risulta n^{-f(x)}\to +\infty, quindi

n^{f(x)}=\frac{1}{n^{-f(x)}}\to_{n\to +\infty}0

Fine della digressione***


Ora torniamo a noi e prendiamo in esame la disequazione fratta

\frac{x-1}{2-x}>0

Studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore

N>0\ \ \to\ \ x>1

D>0\ \ \to\ \ x<2

Dal confronto dei segni si ricava che il rapporto è:

- positivo se 1<x<2

- nullo se x=1

- negativo se x<1\ \vee\ x>2.


CASO 1<x<2

\sum_{n=1}^{+\infty} n\arctan\left(n^{\frac{x-1}{2-x}}\right)

L'argomento dell'arcotangente tende a +\infty quando n\to +\infty, ne consegue che il termine generale è asintotico a n\frac{\pi}{2}

n\arctan\left(n^{\frac{x-1}{2-x}}\right)\sim_{n\to +\infty}n\frac{\pi}{2}\to_{n\to +\infty}+\infty

Dato che il termine generale non soddisfa la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza, e dato che la serie è a termini positivi, abbiamo divergenza.


CASO x=1

Qui l'argomento dell'arcotangente vale 1 per ogni n, quindi per n\to +\infty il termine generale è asintoticamente equivalente a n\arctan\left(1\right).

Un ragionamento del tutto analogo al caso precedente ci permette di concludere che la serie diverge.


CASO x<1\ \vee\ x>2

Dato che l'argomento dell'arcotangente tende a 0 possiamo applicare l'equivalenza asintotica che deriva dal limite notevole dell'arcotangente

n\arctan\left(n^{\frac{x-1}{2-x}}\right)\sim_{n\to +\infty}n\cdot n^{\frac{x-1}{2-x}}

Si vede? Stiamo applicando il criterio del confronto asintotico! emt

Se consideriamo la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}n^{1+\frac{x-1}{2-x}}

e la riscriviamo prima nella forma

\sum_{n=1}^{+\infty}n^{\frac{1}{2-x}}

e poi come

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{-\frac{1}{2-x}}}

e ancora come

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{x-2}}}

ci siamo ricondotti per confronto asintotico ad una serie armonica generalizzata, la quale:

--- converge se l'esponente è maggiore di 1, ossia se

\frac{1}{x-2}>1\ \to\ 2<x<3

--- diverge positivamente se l'esponente è non superiore a 1, ossia se

\frac{1}{x-2}\leq 1\ \to\ x<2\ \vee\ x\geq 3

Noi però ci troviamo nel caso x<1\ \vee\ x>2, per cui dobbiamo limitarci a considerare

x<1\ \vee\ x\geq 3

valori del parametro per i quali la nostra serie diverge.


IN DEFINITIVA

Convergenza per 2<x<3, divergenza per x<2\ \vee\ x\geq 3.
Per x=2 il termine generale della serie non è definito.
Ringraziano: Galois, CarFaby

Serie con arcotangente e esponente con parametro #82216

avt
mari.mari
Punto
Perfetto, grazie mille! emt

Avevo iniziato bene e mi sono persa per strada... Ma

\sum_{n=1}^{+\infty}n^{1+\frac{x-1}{2-x}}

la posso considerare anche una serie geometrica, prendendo q=1+\frac{x+1}{2-x}, o ho detto una cavolata?

Serie con arcotangente e esponente con parametro #82218

avt
Omega
Amministratore
Di nulla, figurati! emt

Attenzione a non confonderti: le serie geometriche sono molto diverse dalle serie armoniche.

In una serie geometrica infatti la base della potenza (ossia la ragione della serie geometrica) è costante...
Ringraziano: Pi Greco, CarFaby

Re: Serie con arcotangente e esponente con parametro #82223

avt
mari.mari
Punto
Capito! Grazie duemila!
Ringraziano: Omega
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Os