Primitive di una funzione parametrica definita per intervalli

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Primitive di una funzione parametrica definita per intervalli #82044

avt
Fabio93
Cerchio
Non so come risolvere questo esercizio sulle primitive di una funzione parametrica definita per intervalli.

Data la funzione

f(x)=\left\{\begin{matrix} (h-1)\sqrt{x+1} & -1\leq x< 0\\  \sin(2x)\sqrt[3]{1-3\cos^2(x)}& 0\leq x\leq \pi\end{matrix}\right.

1) dire per quali valori di h la funzione ammette primitive e determinarle.

2) dire per quali valori di h la funzione è Riemann-integrabile.
 
 

Re: Primitive di una funzione parametrica definita per intervalli #82057

avt
Omega
Amministratore
Procediamo! Abbiamo la seguente funzione definita a tratti

f(x)=\begin{cases} (h-1)\sqrt{x+1} & -1\leq x< 0\\  \sin(2x)\sqrt[3]{1-3\cos^2(x)}& 0\leq x\leq \pi\end{cases}

Il primo punto dell'esercizio ci chiede di determinare i valori del parametro reale h per i quali essa ammette primitive e di ricavarle.

La cosa più sensata da fare consiste nel considerare la definizione di primitiva di una funzione: data una funzione continua f:[a,b]\to\mathbb{R}, diciamo che una funzione F:[a,b]\to\mathbb{R} derivabile su [a,b] è una sua primitiva se

F'(x)=f(x)\ \ \ \forall x\in [a,b]

La definizione contiene tutti gli ingredienti che ci servono. emt

Innanzitutto cerchiamo i valori del parametro h per i quali la funzione f è continua. Essendo definita da rami continui sui rispettivi intervalli di definizione, possiamo limitarci a considerare il punto di raccordo.

Usiamo la definizione di funzione continua in un punto

\lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to 0^+}f(x)

Attenzione a scegliere correttamente il ramo a seconda che il limite vada calcolato da sinistra o da destra.

\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(h-1)\sqrt{x+1}=(h-1)

f(0)=\sin(2\cdot 0)\sqrt[3]{1-3\cos^2(0)}=0

\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\sin(2x)\sqrt[3]{1-3\cos^2(x)}=0

Per avere continuità dobbiamo imporre

h-1=0\ \to\ h=1

L'unico valore del parametro che si candida per l'esistenza di primitive è dunque h=1, per il quale la funzione si riduce a

f(x)=\begin{cases} 0 & -1\leq x< 0\\  \sin(2x)\sqrt[3]{1-3\cos^2(x)}& 0\leq x\leq \pi\end{cases}

Ora cerchiamo le possibili primitive F(x) di f(x). Prima cerchiamo di risalire alle espressioni analitiche mediante integrazione, poi ne studiamo la derivabilità...

Integrando il primo ramo otteniamo come primitiva una generica costante reale. La chiamiamo

F_1(x)=k_1\in\mathbb{R}

Integriamo il secondo ramo. L'integrale che ne risulta è molto più semplice di quanto si possa pensare

F_2(x)=\int \sin(2x)\sqrt[3]{1-3\cos^2(x)}dx=\bullet

Riscriviamo l'integranda usando le formule di duplicazione e la definizione di potenza con esponente fratto

\bullet=\int 2\sin(x)\cos(x)(1-3\cos^2(x))^{\frac{1}{3}}dx=

Integriamo per sostituzione ponendo t=\cos(x), da cui per differenziazione diretta ricaviamo dt=-\sin(x)dx.

Occhio al semplice passaggio algebrico che segue

=-2\int (1-3t^2)^{\frac{1}{3}}tdt=

Questo integrale è banale: è proprio l'integrale di una potenza in forma generale (vedi integrali notevoli), dobbiamo solo aggiustare i coefficienti

=-2\cdot \frac{1}{-6}\int (1-3t^2)^{\frac{1}{3}}\cdot (-6t)dt=

ci siamo

=-2\cdot \frac{1}{-6}\cdot \frac{(1-3t^2)^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}=

ossia

=\frac{1}{3}\cdot \frac{(1-3t^2)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}=

=\frac{1}{4}(1-3t^2)^{\frac{4}{3}}+k_2

Ricordiamoci della sostituzione effettuata

F_2(x)=\frac{1}{4}(1-3\cos^2(x))^{\frac{4}{3}}+k_2

Ok, abbiamo anche una famiglia candidata di primitive:

F(x)=\begin{cases}k_1\mbox{ se }-1\leq x<0\\ \frac{1}{4}(1-3\cos^2(x))^{\frac{4}{3}}+k_2\mbox{ se }0\leq x\leq \pi\end{cases}

L'unica condizione che deve essere soddisfatta è la derivabilità sull'intervallo [-1,\pi]. A tal proposito partiamo dalla continuità, dal momento che la continuità è condizione necessaria per la derivabilità.

Ragionando come in precedenza

\lim_{x\to 0^-}F(x)=F(0)=\lim_{x\to 0^+}F(x)

si ricava facilmente

k_1=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+k_2

Chiamiamo per brevità k:=k_2 e riscriviamo la famiglia di candidate primitive

F(x)=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+k\mbox{ se }-1\leq x<0\\ \frac{1}{4}(1-3\cos^2(x))^{\frac{4}{3}}+k\mbox{ se }0\leq x\leq \pi\end{cases}\ \ \ (\spadesuit)

Per la derivabilità dobbiamo confrontare i due limiti del rapporto incrementale da sinistra e da destra

\lim_{h\to 0^-}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}

Dai, forza e coraggio! emt

\lim_{h\to 0^-}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{0}{h}

(attenzione: la funzione è costante sul ramo sinistro. Inoltre non abbiamo a che fare con una forma indeterminata! Il numeratore non tende a zero, è proprio zero!)

\lim_{h\to 0^+}\frac{F(0+h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\frac{1}{4}(1-3\cos^2(0+h))^{\frac{4}{3}}+k-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}-k}{h}=

=\lim_{h\to 0^+}\frac{\frac{1}{4}(1-3\cos^2(h))^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}}{h}=0

Per non dilungarmi troppo lascio a te il calcolo del limite, non dovresti avere problemi al riguardo.

In definitiva abbiamo derivabilità per ogni valore della costante arbitraria k, e abbiamo scoperto che le funzioni della famiglia (\spadesuit) individuano tutte e sole le primitive della funzione f(x) con h=1.


Per la seconda domanda, ossia stabilire per quali valori del parametro la funzione è Riemann-integrabile, basta fare riferimento alle classi di funzioni integrabili secondo Riemann.

Per h=1 siamo sicuri che f sia Riemann-integrabile su [-1,\pi], in quanto continua.

Per qualsiasi valore h\neq 1 abbiamo comunque a che fare con una funzione limitata su [-1,\pi] con un numero finito di discontinuità (una sola in x=0 e di prima specie), dunque in ogni caso f è una funzione Riemann-integrabile.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, Fabio93
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