Serie numerica fratta con parametro reale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Serie numerica fratta con parametro reale #81636

avt
Fabio93
Cerchio
Buongiorno, ho dei dubbi sullo studio di una serie numerica fratta con parametro reale.

Studiare, al variare del parametro p, la serie numerica

\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{2^{\frac{n}{n^2+1}}-1}{n^{p+3}}.

In particolare non mi convince la parte relativa alla risoluzione dei limiti parametrici.


[EDIT - MOD: Omega] Metto la proposta di svolgimento sotto spoiler. [/EDIT]


:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo
 
 

Serie numerica fratta con parametro reale #81639

avt
Omega
Amministratore
Il tuo ragionamento è corretto, però purtroppo c'è un brutto errore di impostazione in dirittura d'arrivo. :( Tolto l'errore sulla linea del traguardo, sei stato molto ordinato e scrupoloso. Molto bene!


Un commento sul tuo svolgimento

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{\frac{n}{n^2+1}}-1}{n^{p+3}}

È facile vedere che ci abbiamo a che fare con una serie a termini positivi, infatti n\in\mathbb{N}-\{0\} e l'esponenziale y=2^{x} assume valori maggiori di y=1 per ogni x>1.

Alla luce di tale osservazione, la serie può essere solamente convergente e divergente. Tu hai convenuto di:

1) escludere preventivamente i valori del parametro p per cui la serie non converge perché non soddisfa la condizione necessaria di convergenza (limite del termine generale che tende a zero);

2) applicare il criterio del confronto asintotico per i valori del parametro p che non escludono preventivamente la convergenza.

In realtà, quando effettui lo studio del limite di cui al punto 1), se ti accorgi che la serie coinvolta si riduce asintoticamente alla serie armonica generalizzata puoi chiudere direttamente il discorso inglobando 2) in 1).


Ti mostro come risolverei personalmente l'esercizio: la mia personale proposta non è lontana dalla tua, solo più compatta e dunque preferibile

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{\frac{n}{n^2+1}}-1}{n^{p+3}}

La serie è a termini positivi. Cerchiamo di capire per quali valori del parametro p la serie non converge (cioè diverge), in riferimento alla condizione necessaria di convergenza.

A tal proposito considero il limite di successione

\lim_{n\to +\infty}\frac{2^{\frac{n}{n^2+1}}-1}{n^{p+3}}

e ragiono per stime asintotiche.

Dato che

\frac{n}{n^2-1}\to_{n\to+\infty}0

possiamo applicare l'equivalenza asintotica del limite notevole della successione esponenziale, vale a dire

\lim_{a_n\to 0}\frac{c^{a_n}-1}{a_n}=\log(c)\ \iff\ c^{a_n}-1\sim_{a_n\to 0}a_n\log(c)

quindi

\frac{2^{\frac{n}{n^2+1}}-1}{n^{p+3}}\sim_{n\to +\infty}\frac{\log(2)\frac{n}{n^2+1}}{n^{p+3}}=

Ora riscriviamo la frazione di frazione come un'unica frazione

=\frac{n\log(2)}{n^{p+3}(n^2+1)}\sim_{n\to +\infty}

Nella somma a denominatore ci limitiamo a considerare l'infinito di successione di ordine principale n^2+1\sim_{n\to +\infty}n^2

\sim_{n\to +\infty}\frac{n\log(2)}{n^2n^{p+3}}=

applichiamo le proprietà delle potenze

=\frac{\log(2)}{n^{p+4}}=\log(2)\cdot \frac{1}{n^{p+4}}


Attenzione: dato che abbiamo ragionato per sole e semplici stime asintotiche (è quello che hai fatto anche tu!) questo è il punto in cui possiamo renderci conto che la serie data è asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata, dunque possiamo disinteressarci della condizione necessaria di convergenza ed evitare a tutti gli effetti la parte 2) del tuo svolgimento, dando una risposta secca.

D'altra parte il criterio del confronto asintotico è applicabile perché la serie è a termini positivi. emt


Attenzione 2: qui hai commesso l'errore di impostazione che ho menzionato inizialmente.

La serie armonica generalizzata \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^\gamma}, dove l'indice generale n=1 importa poco, converge se e solo se

\gamma>1

Nel nostro caso \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{p+4}} converge se e solo se

p+4>1\ \to\ p>-3

e quindi la serie

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2^{\frac{n}{n^2+1}}-1}{n^{p+3}}

converge se e solo se p>-3.
Ringraziano: CarFaby

Serie numerica fratta con parametro reale #81640

avt
Fabio93
Cerchio
Ok emt tralasciando la ridondanza e qualche errore di impostazione, sono contento di vedere che l'esercizio è sostanzialmente corretto.

Una domandina: la serie è a termini positivi e quindi non può essere indeterminata.

Ciò significa che se converge per  p>-3 automaticamente diverge per  p\leq-3, giusto?

Serie numerica fratta con parametro reale #81641

avt
Omega
Amministratore
Esattamente: se ha segno ben determinato (positivo, non negativo, negativo o non positivo) non può essere irregolare. emt

Serie numerica fratta con parametro reale #81643

avt
Fabio93
Cerchio
Ok, grazie mille emt
  • Pagina:
  • 1
Os