Più grande sottoinsieme su cui una funzione è invertibile

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Più grande sottoinsieme su cui una funzione è invertibile #81609

Fabio93

Cerchio

Buon pomeriggio, mi servirebbe una mano per un esercizio sul più grande sottoinsieme che rende invertibile una funzione e sulla derivata dell'inversa in un punto.

In pratica sulla seconda parte del seguente esercizio:

1) studiare la funzione $f(x)=\sqrt{x(\log(|x|)-1)}$ e disegnarne il grafico.

2) Dire, giustificando la risposta, qual è il più grande sottoinsieme del dominio dove

è invertibile.

Se

appartiene a $Gr(f^{-1})$ determinare $D f^{-1}(e)$ .

Grazie! emt

Più grande sottoinsieme su cui una funzione è invertibile #81615

Omega

Amministratore

Per stabilire se una funzione $f:I\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è invertibile su

non dobbiamo fare altro che riferirci alla definizione di funzione invertibile: una funzione è invertibile su un insieme

se e solo se è iniettiva e suriettiva su tale insieme.

Ora, se omettessimo la specifica su un insieme

intenderemmo implicitamente

, ossia il più grande sottoinsieme reale su cui ha senso considerare la funzione.

Di contro, si può tranquillamente avere a che fare con funzioni che non sono invertibili su tutto il proprio dominio, ma che lo sono su determinati sottoinsiemi $I\subset Dom(f)$ .

Questa premessa è molto importante perché dà un senso alla richiesta dell'esercizio:

Dire, giustificando la risposta, qual è il più grande sottoinsieme del dominio dove

è invertibile.

Alla luce di quanto anticipato, la richiesta si traduce in

Dire, giustificando la risposta, qual è il più grande sottoinsieme del dominio dove

è iniettiva e suriettiva.

Ci sono essenzialmente due modi per stabilire se una funzione è iniettiva e per stabilire se una funzione è suriettiva. In entrambi i casi: metodo analitico e metodo grafico.

Non è un caso che la richiesta precedente dell'esercizio preveda di studiare la funzione e di disegnarne il grafico; la traccia ti sta implicitamente suggerendo di usare il grafico della funzione per individuare velocemente qual è il più grande sottoinsieme del dominio su cui la funzione è sia iniettiva che suriettiva.

Guardiamo il grafico di $f(x)=\sqrt{x(log(|x|)-1)}$

Prima di tutto occupiamoci della suriettività. Per far sì che $f:I\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sia suriettiva dobbiamo restringere opportunamente il codominio $\mathbb{R}$ all'immagine della funzione $Im(f)=[0,+\infty)$ e passare a considerare la nuova funzione

$f:I\subset\mathbb{R}\to [0,+\infty)$

Non un grande sforzo in termini pratici... :D

Per l'iniettività, dobbiamo considerare il numero di intersezioni di qualsiasi retta orizzontale

al variare di $k\in Im(f)$ .

Se per ogni $k\in Im(f)$ abbiamo una ed una sola intersezione tra

ed il grafico di

, allora la funzione è iniettiva.

Se invece esiste anche solo un valore di

per cui

interseca

in più d'un punto, la funzione non è iniettiva.

È allora facile vedere che il più grande sottoinsieme $I\subset Dom(f)$ sui cui

è iniettiva è

$I=[x_0,+\infty)$

dove

indica il valore d'ascissa dell'intersezione positiva del grafico con l'asse delle

.

In definitiva, $I=[x_0,+\infty)$ è il più grande sottoinsieme del dominio su cui

è sia iniettiva che suriettiva, dunque invertibile.

] Passiamo all'ultimissima richiesta della traccia:

appartiene a $Gr(f^{-1})$ determinare $D f^{-1}(e)$ .

dove $f^{-1}$ indica la funzione inversa di

sull'insieme considerato.

Non è difficile vedere che $(e,e^2)\in Gr(f^{-1})$ se e solo se $(e^2,e)\in Gr(f)$ , proprio per definizione di inversa di una funzione.

Vediamo se il punto

appartiene al grafico di

$f(x)=\sqrt{x(log(|x|)-1)}$

Si tratta semplicemente di stabilire se

$f(e^2)=\sqrt{e^2(log(|e^2|)-1)}=\sqrt{e^2(log(e^2)-1)}=\sqrt{e^2(2-1)}=\sqrt{e^2}=e$

Tutto ok. emt

Per calcolare la derivata della funzione inversa $D f^{-1}(e)$ ci appoggiamo all'omonimo teorema:

$\left(f^{-1}\right)'(\tilde{y})=\frac{1}{f'(\tilde{x})}$

dove $\tilde{x}=e^2,\ \tilde{y}=e$ .

Da notare il pregio del teorema: calcoliamo la derivata della funzione inversa senza determinare l'espressione analitica dell'inversa (il che tra l'altro non è sempre possibile!).

In soldoni ci serve la derivata della funzione

, la quale può essere riciclata sapientemente dallo studio di funzione effettuato in precedenza

$f'(x)=\frac{\log(|x|)}{2\sqrt{x(\log(|x|)-1)}}\ \ \ \ \ (\mbox{per }x>x_0)$

Valutiamola in $\tilde{x}=e^2$

$f'(e^2)=\frac{2}{2e}=\frac{1}{e}$

per cui

$\left(f^{-1}\right)'(e)=\frac{1}{\frac{1}{e}}=e$

Ringraziano: Marietto, Galois, CarFaby

Più grande sottoinsieme su cui una funzione è invertibile #81616

Fabio93

Cerchio

Ok, spiegazione molto chiara e semplice emt

Di contro non credo di aver capito bene alcune cose:

1) Facendo riferimento alla vostra lezione sulle funzioni suriettive, ho letto che ,avendo a disposizione il grafico, una funzione è suriettiva se "la sua ombra copre interamente l'asse delle y", dove per ombra credo che intendiate la proiezione ortogonale dei suoi punti sul asse x.

Ora se applico questo ragionamento per la parte di grafico dove

(quella sorta di parabola), "i suoi punti non coprono interamente l'asse delle

" nel senso che facendo la proiezione di quest'ultimi, parte dell'asse

non ha (nel senso che non esistono) le rispettive proiezioni della funzione?

2) $x\geq x_{0}$ è l'intervallo di iniettività, ma non è richiesto dall'esercizio di determinare il valore di $x_{0}\ ?$

Più grande sottoinsieme su cui una funzione è invertibile #81620

Omega

Amministratore

Eccomi

1) Tieni conto che la suriettività riguarda il legame tra il codominio della funzione (insieme di arrivo) e l'immagine della stessa (insieme effettivamente raggiunto a partire dall'insieme di partenza).

La funzione considerata non è certamente suriettiva come funzione $f:Dom(f)\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , infatti il codominio è $\mathbb{R}$ e l'immagine è $Im(f)=[0,+\infty)$ (l'insieme delle proiezioni dei punti del grafico sull'asse

).

Però, come spiegato alla fine della lezione da te menzionata e nelle successive, se ridefiniamo la funzione restringendo il codominio all'immagine, in modo che

allora la funzione considerata diventa automaticamente suriettiva. :)

In soldoni, e detta fuori dai denti, il vero "problema" ai fini dell'invertibilità riguarda l'iniettività della funzione e non tanto la suriettività, perché per quest'ultima è sempre possibile restringere opportunamente il codominio all'immagine.

2) Quel valore viene dedotto nello studio di funzione, quando calcoli le intersezioni con gli assi. In effetti sono stato un po' pigro... :P

Re: Più grande sottoinsieme su cui una funzione è invertibile #81624

Fabio93 Cerchio	2) Quel valore viene dedotto nello studio di funzione, quando calcoli le intersezioni con gli assi. In effetti sono stato un po' pigro In che modo?

Re: Più grande sottoinsieme su cui una funzione è invertibile #81626

Omega

Amministratore

Si tratta semplicemente di seguire il procedimento per le intersezioni con l'asse x, dunque di risolvere il sistema

$\begin{cases}y=\sqrt{x(\log(|x|)-1)}\\ y=0\end{cases}$

da cui, per confronto, l'equazione

$\sqrt{x(\log(|x|)-1)}=0$

Questa equazione va risolta solo ed esclusivamente nel contesto delle condizioni di esistenza, che qui ometto perché si presuppongono già note nel momento in cui si determina il dominio della funzione.

Eleviamo entrambi i membri al quadrato

$x(\log(|x|)-1)=0$

Per la legge di annullamento del prodotto abbiamo due possibilità:

$x=0\ \mbox{ non accettabile per le CE}$

$\log(|x|)-1=0$

La seconda è una semplice equazione logaritmica che possiamo riscrivere nella forma

$\log(|x|)=1$

da cui

e questa equazione in valore assoluto ammette le immediate soluzioni

$x=\pm e$

A noi interessa quella positiva, vale a dire

Ringraziano: Marietto, CarFaby, Fabio93

Re: Più grande sottoinsieme su cui una funzione è invertibile #81627

Fabio93 Cerchio	Ok tutto chiaro

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