Per stabilire se una funzione

è invertibile su

non dobbiamo fare altro che riferirci alla definizione di
funzione invertibile: una funzione è invertibile su un insieme

se e solo se è iniettiva e suriettiva su tale insieme.
Ora, se omettessimo la specifica
su un insieme 
intenderemmo implicitamente

, ossia il più grande sottoinsieme reale su cui ha senso considerare la funzione.
Di contro, si può tranquillamente avere a che fare con funzioni che non sono invertibili su tutto il proprio
dominio, ma che lo sono su determinati sottoinsiemi

.
Questa premessa è molto importante perché dà un senso alla richiesta dell'esercizio:
Dire, giustificando la risposta, qual è il più grande sottoinsieme del dominio dove

è invertibile.
Alla luce di quanto anticipato, la richiesta si traduce in
Dire, giustificando la risposta, qual è il più grande sottoinsieme del dominio dove

è iniettiva e suriettiva.
Ci sono essenzialmente due modi per stabilire se una funzione è
iniettiva e per stabilire se una funzione è
suriettiva. In entrambi i casi: metodo analitico e metodo grafico.
Non è un caso che la richiesta precedente dell'esercizio preveda di
studiare la funzione e di
disegnarne il grafico; la traccia ti sta implicitamente suggerendo di usare il grafico della funzione per individuare velocemente qual è il più grande sottoinsieme del dominio su cui la funzione è sia iniettiva che suriettiva.
Guardiamo il grafico di
Prima di tutto occupiamoci della suriettività. Per far sì che

sia suriettiva dobbiamo restringere opportunamente il
codominio 
all'
immagine della funzione 
e passare a considerare la nuova funzione
Non un grande sforzo in termini pratici... :D
Per l'iniettività, dobbiamo considerare il numero di intersezioni di qualsiasi retta orizzontale

al variare di

.
Se per ogni

abbiamo una ed una sola intersezione tra

ed il grafico di

, allora la funzione è iniettiva.
Se invece esiste anche solo un valore di

per cui

interseca

in più d'un punto, la funzione non è iniettiva.
È allora facile vedere che il più grande sottoinsieme

sui cui

è iniettiva è
dove

indica il valore d'ascissa dell'intersezione positiva del grafico con l'asse delle

.
In definitiva,

è il più grande sottoinsieme del dominio su cui

è sia iniettiva che suriettiva, dunque invertibile.
] Passiamo all'ultimissima richiesta della traccia:
Se

appartiene a

determinare

.
dove

indica la
funzione inversa di

sull'insieme considerato.
Non è difficile vedere che

se e solo se

, proprio per definizione di inversa di una funzione.
Vediamo se il punto

appartiene al grafico di
Si tratta semplicemente di stabilire se
Tutto ok.
Per calcolare la
derivata della funzione inversa 
ci appoggiamo all'omonimo teorema:
dove

.
Da notare il pregio del teorema: calcoliamo la derivata della funzione inversa senza determinare l'espressione analitica dell'inversa (il che tra l'altro non è sempre possibile!).
In soldoni ci serve la derivata della funzione

, la quale può essere riciclata sapientemente dallo studio di funzione effettuato in precedenza
Valutiamola in
per cui
