Integrare per sostituzione sen(2x)sen^2(x)

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Integrare per sostituzione sen(2x)sen^2(x) #81569

avt
pinkolo
Punto
Salve. Sto cercando di risolvere il seguente integrale:

\int\sin(2x)\sin^2(x)dx

Ad occhio mi sembra che debba iniziare ad essere risolto per parti e poi proseguire con metodi di sostituzione, ma non riesco mai a semplificarlo in un integrale semplice. emt

Grazie per l'aiuto,
Enrico
 
 

Integrare per sostituzione sen(2x)sen^2(x) #81570

avt
Omega
Amministratore
Ciao Pinkolo emt

Tutto pronto, il tempo di trascrivere la risposta emt

Integrare per sostituzione sen(2x)sen^2(x) #81571

avt
Omega
Amministratore
Vediamo come calcolare l'integrale proposto:

\int\sin(2x)\sin^2(x)dx

Integrare per parti non è una mossa conveniente in questo caso. Piuttosto conviene riscrivere l'integranda con una semplicissima formula trigonometrica: la formula di duplicazione del seno.

\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)

per cui l'integrale diventa

\int2\sin(x)\cos(x)\sin^2(x)dx

Sfruttiamo la proprietà di omogeneità dell'integrale

2\int\sin(x)\cos(x)\sin^2(x)dx

e riscriviamo l'integranda nella seguente forma

2\int\sin^3(x)\cos(x)dx

Ora possiamo procedere con l'integrazione per sostituzione, ponendo

t=\sin(x)\ \ \ (\bullet)

Attenzione: come spesso capita nelle sostituzioni per integrali trigonometrici, non conviene procedere con il metodo standard (che presuppone di ricavare un'espressione esplicita per x e di differenziarla per ricavare dx).

Qui è molto meglio differenziare direttamente (\bullet) membro a membro, infatti

dt=\cos(x)dx

Perfetto, perché se ci facciamo caso l'integrale assegnato presenta proprio un termine \cos(x)dx emt

2\int\sin^3(x)\cos(x)dx\ \to\ 2\int t^3dt

L'integrale appena scritto è banale (vedi integrali fondamentali)

2\int t^3dt=2\frac{t^4}{4}+c

dove c è una costante arbitraria.

Tornando alla variabile x otteniamo la famiglia di primitive cercata

\frac{1}{2}\sin^4(x)+c

ecco fatto! emt
Ringraziano: Galois, CarFaby

Re: Integrare per sostituzione sen(2x)sen^2(x) #81575

avt
pinkolo
Punto
Ciao Omega,
Grazie mille emt
Sei stato chiarissimo ed ho capito dove sbagliavo con l'approccio.

pinkolo
Ringraziano: Omega
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Os