Problema di Cauchy del secondo ordine con termine noto costante

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Problema di Cauchy del secondo ordine con termine noto costante #81541

avt
Salvo21
Punto
Come dovrei procedere per risolvere questo problema di Cauchy del secondo ordine in cui il termine noto è costante?

\begin{cases}y''+y'=2y+4\\ y(0)=2\\ y'(0)=0\end{cases}

Grazie mille
 
 

Problema di Cauchy del secondo ordine con termine noto costante #81553

avt
Omega
Amministratore
Ok: ci troviamo di fronte ad un problema di Cauchy con un'equazione differenziale del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti e non omogenea.

\begin{cases}y''+y'=2y+4\\ y(0)=2\\ y'(0)=0\end{cases}

Meglio riscrivere l'equazione in forma canonica

\begin{cases}y''+y'-2y=4\\ y(0)=2\\ y'(0)=0\end{cases}

La prima cosa da fare consiste nel risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine lineare, a coefficienti costanti ed omogenea associata.

y''+y'-2y=0

Consideriamo l'equazione caratteristica ad essa associata

\lambda^2+\lambda-2=0

che non è nient'altro che un'equazione di secondo grado che ammette come soluzioni \lambda=-2,\ \lambda=+1.

Le soluzioni dell'equazione caratteristica ci permettono di scrivere subito tutte e sole le soluzioni dell'equazione omogenea

y_O(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{x}

con c_1,c_2\in\mathbb{R} costanti arbitrarie.

Ora torniamo alla non omogenea

y''+y'-2y=4

e determiniamone una soluzione particolare mediante il metodo di somiglianza. Dato che il termine noto è della forma

f(x)=4

cerchiamo una soluzione particolare della forma

y_P(x)=\overline{Q}(x)

dove \overline{Q}(x) è un polinomio dello stesso grado di f(x), ossia di grado zero

y_P(x)=b\in\mathbb{R}

vale a dire: è una costante.

Sostituiamo la soluzione particolare e le relative derivate prima e seconda nell'equazione non omogenea

y_P=b,\ \ \ y_P'=0,\ \ \ y''_P=0

da cui

y''+y'-2y=4\ \to\ 0+0-2b=4\ \to\ b=-2

e abbiamo una soluzione particolare

y_P(x)=-2

La soluzione generale dell'equazione differenziale non omogenea è data dalla somma tra la generica soluzione dell'omogenea e la soluzione particolare

y(x)=y_O+y_P

ossia

y(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{x}-2

Riprendiamo il problema di Cauchy

\begin{cases}y''+y'-2y=4\\ y(0)=2\\ y'(0)=0\end{cases}

e usiamo le condizioni iniziali per determinare i valori delle costanti c_1,c_2.

Prima valutiamo la soluzione in x=0 e imponiamo l'uguaglianza y(0)=2

c_1e^{-2\cdot 0}+c_2e^{0}-2=2

ossia

c_1+c_2=4

Poi usiamo la condizione relativa alla derivata prima y'(0)=0

y(x)=c_1e^{-2x}+c_2e^{x}-2\ \to\ y'(x)=-2c_1e^{-2x}+c_2e^x

da cui

-2c_1e^{-2\cdot 0}+c_2e^0=0

ossia

-2c_1+c_2=0

Le due condizioni sui coefficienti individuano un sistema lineare

\begin{cases}c_1+c_2=4\\ -2c_1+c_2=0\end{cases}

che, risolto, fornisce come unica soluzione c_1=\frac{4}{3},\ c_2=\frac{8}{3}. Fine! Abbiamo individuato l'unica soluzione del problema di Cauchy assegnato

y(x)=\frac{4}{3}e^{-2x}+\frac{8}{3}e^{x}-2
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby

Problema di Cauchy del secondo ordine con termine noto costante #81554

avt
Salvo21
Punto
Grazie mille!
Ringraziano: Omega
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Os