Studio di funzione fratta con esponenziali

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Studio di funzione fratta con esponenziali #81540

avt
Salvo21
Punto
Buon pomeriggio, potreste spiegarmi come fare lo studio di questa funzione fratta con le esponenziali?

f(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}

Grazie mille!
 
 

Studio di funzione fratta con esponenziali #81547

avt
Omega
Amministratore
Seguiamo il procedimento per lo studio di funzione.

Prima di cominciare conviene riscrivere l'espressione della funzione in una forma equivalente, ricorrendo ad una nota proprietà delle potenze

f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^x+\frac{1}{e^x}}{e^x-\frac{1}{e^x}}=

ossia, con un paio di conticini e riscrivendo la frazione di frazione come singola frazione

=\frac{\frac{e^{2x}+1}{e^x}}{\frac{e^{2x}-1}{e^x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^x}\frac{e^x}{e^{2x}-1}=

da cui la forma ben più gestibile

f(x)=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}


Ok, occupiamoci del dominio. L'unica richiesta da imporre riguarda il non annullamento del denominatore

e^{2x}-1\neq 0

una semplicissima equazione esponenziale che dà come soluzione

\to\ e^{2x}\neq 1\ \to\ 2x\neq 0\ \to\ x\neq 0

Ne consegue che il dominio della funzione è Dom(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty).


Passiamo al segno della funzione. Dobbiamo risolvere f(x)\geq 0, ossia la disequazione fratta

\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}\geq 0

Studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore:

N\geq 0)\ e^{2x}+1\geq 0\ \ \ \forall x\in Dom(f)

(perché somma di due quantità positive, infatti la funzione esponenziale è sempre positiva)

D>0)\ e^{2x}-1>0\ \to\ e^{2x}>1\ \to\ x>0

Il confronto tra i segni di numeratore e denominatore è immediato: la funzione è positiva per x>0 e negativa per x<0.

Dallo studio del segno è inoltre evidente che non sono presenti intersezioni con gli assi.


È il momento dei limiti agli estremi del dominio. Dobbiamo calcolarne 4:

\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}

Ricordando il comportamento della funzione esponenziale, i due termini e^{2x} vanno a zero per x\to -\infty. Rimane \frac{1}{-1}=-1, per cui y=-1 è asintoto orizzontale per f(x).

\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=

Qui si procede per confronto tra infiniti.

=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{2x}\left(1+\frac{1}{e^{2x}}\right)}{e^{2x}\left(1-\frac{1}{e^{2x}}\right)}=1

per cui y=1 è asintoto orizzontale per f(x).

I restanti limiti si calcolano con l'algebra di infiniti e infinitesimi

\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\left[\frac{2}{1^--1}\right]=\left[\frac{2}{0^-}\right]=-\infty

\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=\left[\frac{2}{1^+-1}\right]=\left[\frac{2}{0^+}\right]=+\infty

per cui x=0 è asintoto verticale per la funzione.


Passiamo quindi a studiare i massimi e minimi. Calcoliamo la derivata usando la regola di derivazione per il rapporto di funzioni

f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}[e^{2x}+1]\cdot (e^{2x}-1) - (e^{2x}+1)\cdot \frac{d}{dx}[e^{2x}-1]}{(e^{2x}-1)^2}

Attenzione alle derivate che coinvolgono i termini esponenziali: essi richiedono l'applicazione del teorema per la derivata della funzione composta

f'(x)=\frac{2e^{2x}(e^{2x}-1)-(e^{2x}+1)2e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2}

Riscriviamola nella forma più compatta

f'(x)=\frac{2e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2}\cdot [e^{2x}-1-e^{2x}-1]

ossia

f'(x)=\frac{-4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2}

Studiamo il segno della derivata prima: una sciocchezza! emt Infatti il denominatore è un quadrato, ed è positivo per ogni x nel dominio di f. Il numeratore invece è sempre negativo perché il fattore esponenziale è sempre positivo.

Di conseguenza f'(x)<0 ovunque su Dom(f) e ne deduciamo che f è una funzione decrescente su tutto il proprio dominio.

Calcoliamo ed eseguiamo lo studio della derivata seconda: è grazie ad esso che riusciamo a determinare gli intervalli di concavità e di convessità della funzione.

Il calcolo della derivata seconda avviene applicando la regola di derivazione del quoziente sull'espressione della derivata prima

\\ f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]=\frac{d}{dx}\left[\frac{-4e^{2x}}{(e^{2x}-1)^2}\right]= \\ \\ \\ = \frac{\frac{d}{dx}[-4e^{2x}](e^{2x}-1)^2-(-4e^{2x})\frac{d}{dx}[(e^{2x}-1)^2]}{[(e^{2x}-1)^2]^2}=

Calcoliamo le derivate rimaste

 =\frac{-4e^{2x}\cdot 2 (e^{2x}-1)^2+4e^{2x}\cdot 2 (e^{2x}-1)\cdot e^{2x}\cdot 2}{(e^{2x}-1)^4}=

e raccogliamo totalmente i fattori comuni, ossia 4e^{2x},\ (e^{2x}-1)

\\ = \frac{4e^{2x}(e^{2x}-1)\left[-2(e^{2x}-1)+4e^{2x}\right]}{(e^{2x}-1)^4}= \\ \\ \\ = \frac{4e^{2x} [2e^{2x}+2]}{(e^{2x}-1)^3}

In definitiva l'espressione della derivata seconda è

f''(x)= \frac{8e^{2x}[e^{2x}+1]}{(e^{2x}-1)^3}

Studiamo il segno della derivata seconda, non prima di aver osservato che i fattori 8e^{2x}\mbox{ e }[e^{2x}+1] sono entrambi positivi nel dominio, di conseguenza il segno di f''(x) dipende esclusivamente da quello di (e^{2x}-1)^3.

f''(x)\ge 0\to (e^{2x}-1)^3>0\to e^{2x}>1\to 2x>0\to x>0

Possiamo asserire che la derivata seconda è positiva per x>0 mentre è negativa per x<0.

La funzione di partenza dunque è convessa per x>0 mentre è concava per x<0.

Abbiamo tutte le informazioni per disegnare il grafico.

grafico funzione fratta con esponenziali
Ringraziano: CarFaby

Studio di funzione fratta con esponenziali #81550

avt
Salvo21
Punto
Grazie mille ora la guardo, gentilissimo
Ringraziano: Omega
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Os