Funzioni convesse, pseudo-convesse e quasi convesse

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Funzioni convesse, pseudo-convesse e quasi convesse #81504

avt
sandrino 887
Punto
Avrei bisogno di rispondere al seguente quesito: si dia un esempio di funzione quasi-convessa che è convessa, una funzione quasi-convessa che non è convessa ed una funzione pseudo-convessa che non è convessa.

A fianco ad ogni convessa c'è scritto (concava).

Ho bisogno di una risposta il più "terra terra" possibile poiché di definizioni matematiche è pieno il libro ma non riesco a quantificare fisicamente di cosa si parli. Molto graditi esempi grafici.

Grazie in anticipo!
 
 

Re: Funzioni convesse, pseudo-convesse e quasi convesse #81508

avt
Omega
Amministratore
Prima di tutto ci tengo a precisare che la richiesta della traccia è duplice: l'utilizzo delle parentesi significa in soldoni rileggere l'enunciato sostituendo al posto della parola che segue le parentesi quella contenuta nelle parentesi.

Ad ogni modo, dato che le definizioni di convessità e concavità sono speculari, è sufficiente trattare il caso convesso. Lo svolgimento per il caso concavo si ottiene ragionando in maniera analoga ma opposta.

Partiamo dalle definizioni. Per semplicità, dato che il testo non pone alcun tipo di restrizione, ragioneremo nel caso delle funzioni reali di variabile reale.


Insieme convesso

Diciamo che D\subseteq \mathbb{R} è un insieme convesso se, comunque scelti x_1,x_2\in D, risulta che per ogni t\in [0,1]

tx_1+(1-t)x_2\in D

In parole povere un insieme è convesso per definizione se comunque scelti due punti dell'insieme il segmento che li congiunge è interamente contenuto nell'insieme.

A titolo di cronaca, l'espressione tx_1+(1-t)x_2 prende il nome di combinazione convessa dei punti x_1,x_2.


Funzione convessa

Diciamo che f:D\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} con D insieme convesso è una funzione convessa se, comunque scelti x_1,x_2\in D, e comunque preso un coefficiente t\in [0,1], risulta

f(tx_1+(1-t)x_2)\leq t f(x_1)+(1-t)f(x_2)

Nel caso della disuguaglianza stretta diremo che f è una funzione strettamente convessa o convessa in senso stretto.

Per la definizione di funzione concava, basta sostituire \leq con \geq.


Per il significato grafico/geometrico e per ulteriori approfondimenti, ti rimando alla lettura di questa pagina: funzioni convesse e criterio di convessità.

In buona sostanza, al variare di t\in [0,1] la combinazione convessa tx_1+(1-t)x_2 individua tutti e soli i punti x compresi nell'intervallo [x_1,x_2].

In termini geometrici, tutti i punti del piano cartesiano della forma

(tx_1+(1-t)x_2,\ tf(x_1)+(1-t)f(x_2))\mbox{ al variare di }t\in [0,1]

individuano il segmento di estremi (x_1,f(x_1)),\ (x_2,f(x_2))

La condizione di convessità di una funzione equivale al fatto che il grafico di f giaccia interamente al di sotto del segmento di estremi (x_1,f(x_1)),\ (x_2,f(x_2))

Un esempio in figura

funzione convessa



Funzione quasi-convessa

Diciamo che f:D\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} con D insieme convesso è una funzione quasi-convessa se, comunque scelti x_1,x_2\in D, e per ogni t\in [0,1], vale

f(tx_1+(1-t)x_2)\leq \mbox{max}\{f(x),f(y)\}

In parole povere una funzione è quasi-convessa per definizione se le immagini di qualsiasi punto tx_1+(1-t)x_2 mediante f non supera alcun valore tra f(x) e f(y).

Per la definizione di funzione quasi-concava, basta sostituire \leq con \geq e \mbox{max} con \mbox{min}.


Funzione pseudo-convessa

Diciamo che una funzione derivabile su D, f:D\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R}, con D insieme convesso è una funzione pseudo-convessa se, comunque scelti x_1, x_2\in D tali che

f'(x)\cdot (x_2-x_1)\geq 0

allora risulta

f(x_2)\geq f(x_1).

Qui il significato geometrico non è immediato come nei casi visti in precedenza. Ti anticipo però, casomai non avessi già avuto modo di vederlo nel prosieguo del tuo corso di studi, che la definizione di funzione pseudo-convessa viene introdotta per indebolire la più stringente richiesta di convessità mantenendo al contempo diverse proprietà tipiche delle funzioni convesse.

Per la definizione di funzione pseudo-concava, basta sostituire f con -f.


Relazioni tra funzioni convesse, quasi-convesse e pseudo-convesse

Si può dimostrare che:

1- tutte le funzioni convesse sono quasi-convesse;

2- una funzione quasi-convessa non è necessariamente convessa;

3- tutte le funzioni convesse sono pseudo-convesse;

4- una funzione pseudo-convessa non è necessariamente convessa;

5- tutte le funzioni pseudo-convesse sono anche quasi-convesse;

6- una funzione quasi-convessa non è necessariamente pseudo-convessa.


La traccia dell'esercizio ti chiede:


A) un esempio di funzione quasi-convessa che è convessa.

A tal proposito è sufficiente considerare una qualsiasi funzione convessa, la quale in forza della 1- sarà necessariamente quasi-convessa.

Ad esempio: f(x)=x^2.


B) Un esempio di funzione quasi-convessa che non è convessa.

Ad avvalorare quanto scritto al punto 2-. Puoi considerare, come esempio

g(x)=\sqrt{|x|}

tutte le relative considerazioni sono immediate direttamente dal grafico.

funzione quasi convessa ma non convessa



C) Una funzione pseudo-convessa che non è convessa.

Qui c'è un esempio più che classico:

h(x)=x+x^3

Verifichiamolo. Se consideriamo x,y\in Dom(h) e consideriamo la condizione

h'(x)\cdot (y-x)\geq 0

essa si traduce in

(1+3x^2)\cdot (y-x)\geq 0

Dato che il primo fattore è positivo per ogni x\in\mathbb{R} (somma di un numero positivo con una quantità non negativa), la disequazione si riduce a

y-x\geq 0\ \to\ y\geq x.

D'altronde, trattandosi di una funzione crescente strettamente, è automatico che per y\geq x risulti

h(y)\geq h(x)

quindi essa soddisfa la definizione di funzione pseudo-convessa. D'altra parte essa non è convessa e per capirlo è sufficiente dare uno sguardo al grafico:

funzione pseudo convessa ma non convessa


PS: è evidente che delle 3 definizioni la meno intuitiva è quella di funzione pseudo-convessa. Se - e sottolineo se - non hai una padronanza completa della teoria aspetta prima di porti domande del tipo "a che diavolo serve questa definizione?". Avrai modo di apprezzarlo nel seguito. Per inciso, serve ad indebolire la teoria preservando determinati risultati, soprattutto quelli relativi all'ottimizzazione.

PPS: se vuoi aiutarti con i grafici, ti suggerisco di usare il tool per il grafico online.
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby

Re: Funzioni convesse, pseudo-convesse e quasi convesse #81513

avt
sandrino 887
Punto
Perfetto, molto chiaro nella teoria.

Faccio però fatica a pensare ad una funzione quasi concava non concava. Mi è venuto solo in mente y=\left|\frac{1}{x}\right| però in 0 c'è asintoto. Sapresti darmi degli esempi?

Anche più di uno sono ben accetti!

PS: una funzione può essere a questo punto sia quasi concava che quasi convessa? Per esempio f(x)=\sin(x) ?

Re: Funzioni convesse, pseudo-convesse e quasi convesse #81515

avt
Omega
Amministratore
Tieni a mente un'importante proprietà che lega le funzioni concave e le funzioni convesse: una funzione f:D\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} con D insieme convesso è convessa se e solo se -f è concava.

In modo analogo (e non è difficile convincersene) una funzione f:D\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} con D insieme convesso è quasi-convessa se e solo se -f è quasi-concava.

Faccio però fatica a pensare ad una funzione quasi-concava non concava

Ti basta considerare

p(x)=-\sqrt{|x|}

perché g(x)=\sqrt{|x|} è quasi-convessa.


In riferimento all'esempio che hai proposto, ossia y=\left|\frac{1}{x}\right|, ci troviamo di fronte ad una funzione che non è definita nel punto x=0. Nota che la definizione di funzione quasi-concava, alla stregua della definizione di funzione quasi-convessa, richiede che D sia un insieme convesso.

Comunque scelto D=[a,0)\cup (0,b] con a<0,\ b>0, ci troviamo di fronte ad un insieme che non è convesso in quanto unione di intervalli disgiunti.

Di contro, è il comportamento della funzione nell'intorno di x=0 che permetterebbe di perdere la concavità garantendo la quasi-concavità.

Morale della favola: nell'esempio considerato non puoi fare altro che considerare intervalli del tipo [a,b] con a,b<0 oppure a,b>0, sui quali la funzione risulta concava ed in particolare quasi concava.

La funzione scelta non è dunque adatta allo scopo. :(


Sì, una funzione può essere sia quasi-convessa che quasi-concava. Le funzioni di questo tipo vengono dette funzioni quasi-lineari e non è difficile vedere che una funzione monotona è quasi-lineare.

Se infatti consideri un insieme convesso D, una qualsiasi funzione monotona su D assumerà su D valori non inferiori a quelli assunti sull'estremo del minimo e non superiori a quelli assunti sull'estremo del massimo.

C'è comunque un modo ancora più semplice di ragionare per trovare un esempio di funzione quasi-convessa e quasi-concava. Ti basta considerare una qualsiasi funzione che sia convessa (dunque anche quasi-convessa) e concava (dunque anche quasi-concava). L'esempio più semplice che puoi fornire di funzione sia concava che convessa è una qualsiasi funzione lineare y=mx+q, che avrà come grafico una retta.


Anche in questo caso l'esempio che hai proposto non va bene. Per vederlo ti basta considerare D=\mathbb{R} ed una qualsiasi coppia di punti x_1,x_2 in cui y=\sin(x) assume come valore 1. Con la definizione di funzione quasi-convessa e di funzione quasi-concava alla mano vedrai subito che la coppia di punti considerata vìolerebbe la condizione per funzioni quasi-concave. Tieni a mente che le proprietà espresse dalle definizioni devono valere per ogni coppia di punti in D
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, sandrino 887
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