Area di un solido con gli integrali di superficie

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Area di un solido con gli integrali di superficie #81241

avt
Rubber
Punto
Ciao sono alle prese con un integrale di superficie per il calcolo dell'area di un solido, non so bene come procedere.

Calcolare l'area della superficie che racchiude il solido

B=\left\{z \leq -x^2 - y^2 +3,\ z\geq 2\sqrt{x^2 + y^2}\right\}


Il primo è un paraboloide con concavità verso il basso con raggio \sqrt{3} e il secondo è un cono che parte dall'origine degli assi e intersezioni con il paraboloide in 1 e -3.

Non so se devo parametrizzare il paraboloide e calcolarne l'area e poi sottrarre l'area del cono, se cosi fosse non riesco a capire come fare,oppure c'e un modo più semplice?

Grazie
 
 

Area di un solido con gli integrali di superficie #81247

avt
Omega
Amministratore
Ciao Rubber, vediamo come procedere. Dopo aver intuito che

z \leq -x^2 - y^2 +3

individua la regione sottesa dal paraboloide rivolto verso il basso con vertice in (0,0,3) e che

z\geq 2\sqrt{x^2 + y^2}

individua la regione che sovrasta il cono con vertice in (0,0,0), procediamo al calcolo dell'area della superficie del solido individuato dall'intersezione delle due regioni.

Per calcolare tale area procederemo al calcolo di due integrali di superficie, uno per ciascuna delle due superfici coinvolte. Prima di tutto individuiamo l'intersezione delle due superfici:

\begin{cases}z =-x^2 - y^2 +3\\ z= 2\sqrt{x^2 + y^2}\end{cases}

Mediante semplici passaggi algebrici si deduce dalla seconda equazione che

\sqrt{x^2+y^2}=\frac{z}{2}

e per sostituzione nella prima, scritta come

z=-(x^2+y^2)+3

si ricava

z=-\frac{z^2}{4}+3

una banale equazione di secondo grado che ammette come soluzioni z=-6,\ z=2. La seconda equazione ci dice che z deve essere non negativo, per cui z=2 è l'unica soluzione accettabile ed individua la quota di raccordo tra le due superfici.

Procedendo per sostituzione nella seconda equazione

2=2\sqrt{x^2+y^2}\ \to\ x^2+y^2=1

deduciamo che le due superfici si intersecano in una circonferenza di raggio 1 situata sul piano z=2, con centro in (0,0,2).

Tale curva ci permetterà di suddividere il calcolo dell'area.


Parte superiore

z=-x^2-y^2+3

È facile vedere che la limitazione relativa alla quota z è 2\leq z\leq 3.

Ora passiamo ad un sistema di coordinate cilindriche

\begin{cases}x=r\cos(t)\\ y=r\sin(t)\\ z=z\end{cases}\mbox{ con }\begin{matrix}r\in [0, +\infty)\\ t\in [0, 2\pi)\\ z\in (-\infty, +\infty)\end{matrix}

] per cui sostituendo e usando una nota formula trigonometrica

z=-r^2+3

In merito alla limitazione ci basta imporre la doppia disequazione

2\leq -r^2+3\leq 3

da cui alla luce della condizione naturale r\geq 0 si ricava

0\leq r \leq 1

Abbiamo ricavato una parametrizzazione della superficie

\gamma(t,r)=(r\cos(t),r\sin(t),-r^2+3)\ \mbox{ con }r\in [0,1],\ t\in [0,2\pi)

]Ora ci serve l'elemento di superficie d\sigma in modo da poter calcolare l'integrale

\int_{S}d\sigma

dove

d\sigma=\left|\left|\frac{\partial \gamma}{\partial r}\times \frac{\partial \gamma}{\partial t}\right|\right|drdt

In particolare:

\bullet\ \frac{\partial \gamma}{\partial r},\frac{\partial \gamma}{\partial t} indicano le derivate parziali di \gamma rispetto alle relative variabili. Nel nostro caso

\frac{\partial \gamma}{\partial r}=(\cos(t),\sin(t),-2r)

\frac{\partial \gamma}{\partial t}=(-r\sin(t),r\cos(t),0)

\bullet\ \times indica il prodotto vettoriale tra i due vettori, per noi è

N_\gamma(r,t)=\frac{\partial \gamma}{\partial r}\times \frac{\partial \gamma}{\partial t}=(2r^2\cos(t),2r^2\sin(t),r)

\bullet\ ||...|| indica la norma del vettore, nel nostro caso

||N_\gamma(r,t)||=\left|\left|\frac{\partial \gamma}{\partial r}\times \frac{\partial \gamma}{\partial t}\right|\right|=r\sqrt{4r^2+1}

Come avrai notato ho indicato il vettore che risulta dal prodotto vettoriale come N_\gamma(r,t); esso è il vettore normale alla superficie nel punto individuato dai parametri (r,t).

Ora non resta che calcolare l'integrale

\int_{S}d\sigma=\int_S\left|\left|\frac{\partial \gamma}{\partial r}\times \frac{\partial \gamma}{\partial t}\right|\right|drdt=

che si traduce in un integrale doppio (bisogna tenere conto delle limitazioni che individuano la porzione di superficie!)

\int_{0}^{2\pi}\int_0^1(r\sqrt{4r^2+1})drdt

Dato che le variabili sono già disaccoppiate (e l'integrale in dr è semplicissimo), lascio a te il calcolo.

Lascio a te anche l'impostazione relativa alla porzione di superficie sottostante, che è del tutto analoga e presenta dei calcoli ancor più abbordabili. In caso di dubbi, chiedi pure. emt
Ringraziano: Galois, CarFaby, Rubber

Area di un solido con gli integrali di superficie #81248

avt
Rubber
Punto
Ok per adesso grazie emt , vedo se ho problemi poi nel caso chiedo il tuo aiuto.
Ringraziano: Omega

Area di un solido con gli integrali di superficie #81252

avt
Rubber
Punto
Ciao Omega, controllato,vorrei fare un disegno ma non riesco, correggimi se sbaglio: hai diviso l'area in 2 perché la parte superiore è definita tra 2 funzioni e la restante parte cioè quella inferiore risulta essere solo il cono.

Non mi torna il risultato del prodotto vettoriale, la seconda componente del vettore a me da

-2r^2\sin{\left(t\right)}

Scrivo la parte inferiore:

 0\leq r \leq1;

0\leq t \leq2\pi;

z=2r;

N_\gamma(r,t)=\sqrt{5r^2}

\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{5r^2}drdt

Non ho messo tutti i passaggi ci metterei due giorni per scrivere emt

Alla fine devo sommare la superficie della parte superiore e quella inferiore, giusto?

Grazie mille!!!!

Area di un solido con gli integrali di superficie #81255

avt
Omega
Amministratore
Dunque, in riferimento al prodotto confermo l'espressione della mia seconda componente. Per sicurezza ho dato in pasto il calcolo ad un software e restituisce il mio medesimo risultato, dunque ti chiederei di ricontrollare i tuoi calcoli. emt

Riguardo all'area complessiva della superficie: esatto, devi sommare le due aree. emt

Per quel che concerne la parte sottostante confermo le limitazioni per i due parametri ma non mi trovo con l'espressione del vettore normale. Dai calcoli che ho fatto su carta, detta \varphi la parametrizzazione, ho trovato

\varphi(r,t)=(r\cos(t),r\sin(t),2r)\ \mbox{ con }r\in [0,1],\ t\in [0,2\pi)

\frac{\partial \varphi}{\partial r}=(\cos(t),\sin(t),2)

\frac{\partial \varphi}{\partial t}=(-r\sin(t),r\cos(t),0)

per cui

N_\varphi(r,t)=\frac{\partial \varphi}{\partial r}\times \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\left(-2r\cos{\left(t\right)},-2r\sin{\left(t\right)},r\right)

e

||N_\varphi(r,t)||=\left|\left|\frac{\partial \gamma}{\partial r}\times \frac{\partial \gamma}{\partial t}\right|\right|=\sqrt{5r^2}=\sqrt{5}r

In definitiva l'area della superficie sottostante è data da

\int_{0}^{2\pi}\int_0^1\sqrt{5}rdrdt
Ringraziano: CarFaby, Rubber

Re: Area di un solido con gli integrali di superficie #81257

avt
Rubber
Punto
Le derivate parziali tornano anche a me, non mi torna il prodotto vettoriale, sicuramente sto sbagliando da qualche parte,

N_\varphi(r,t)=\left(-2r\cos{\left(t\right)},2r\sin{\left(t\right)},r\right)

Grazie

Re: Area di un solido con gli integrali di superficie #81275

avt
Omega
Amministratore
Sospetto che tu abbia qualche difficoltà nel calcolo del prodotto vettoriale, ma senza vedere i tuoi calcoli non posso esprimermi con precisione nel merito.

Nel caso puoi sempre dare un'occhiata alla relativa lezione che ho linkato in precedenza. emt

Ti mostro come procedere nel caso di

\frac{\partial \varphi}{\partial r}\times \frac{\partial \varphi}{\partial t}=(\cos(t),\sin(t),2)\times (-r\sin(t),r\cos(t),0)=

Calcoliamolo come determinante della matrice costruita ad hoc

=det\left[\begin{matrix} i & j & k \\ \cos(t) & \sin(t) & 2 \\ -r\sin(t) & r\cos(t) & 0 \end{matrix}\right]=

e per farlo usiamo la regola di Sarrus

=0-2r\sin(t)j+r\cos^2(t)k-(-r\sin^2(t)k+0+2r\cos(t)i)=

=-2r\sin(t)j+r\cos^2(t)k+r\sin^2(t)k-2r\cos(t)i=

Riordina rispetto ai versori degli assi i,j,k

=-2r\cos(t)i-2r\sin(t)j+rk

ossia (-2r\cos(t),-2r\sin(t),r).
Ringraziano: Galois, Rubber

Re: Area di un solido con gli integrali di superficie #81281

avt
Rubber
Punto
Grazie Omega emt , stamattina ho ricontrollato tutto e mi torna come il tuo..
Sei stato davvero molto gentile.

Grazie ancora..emt
Ringraziano: Omega
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Os