Equazione complessa con potenza e sostituzione

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Equazione complessa con potenza e sostituzione #80579

avt
gcappellotto47
Cerchio
Buongiorno, ho visto questo "metodo" per risolvere la seguente equazione complessa con una potenza al cubo. Questa:

\left(i-\frac{1}{z}\right)^3-i^3=0


Premessa: determino i numeri complessi a+ib tali che (a+ib)^3-i^3=0
osservo che i^3-i^3=0 e quindi a_0+ib_0=i è una soluzione.
Se \alpha^3-i^3=0 e \beta^3=1 allora (\alpha \beta)^3-i^3=\alpha^3 \beta^3-i^3=0.

L'equazione \beta^3=1 ha tre soluzioni  (1=e^{i 2 \pi})
\beta_0=e^{i\frac{2\pi}{3}},\     \beta_1=e^{i \frac{4\pi}{3}},\  \beta_2=e^{i \frac{6\pi}{3}}=1

con soluzioni

i\beta_0=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\ i\beta_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,\ i\beta_2=i


Data questa premessa, dovrei risolvere questa equazione:

\left(i-\frac{1}{z}\right)^3-i^3=0

Queste sono le mie domande:

1) che relazione esiste fra il "metodo" e la soluzione dell'equazione?
2) come posso risolvere l'equazione con questo "metodo"?
3) esistono altri metodi per la soluzione dell'equazione?

Grazie e saluti
Giovanni C.
 
 

Equazione complessa con potenza e sostituzione #80601

avt
Omega
Amministratore
Premetto che ci sono diversi passaggi che non ho capito in riferimento a questo:

determinare i numeri complessi a+ib tali che (a+ib)^3-i^3=0

Se volessimo risolvere l'equazione complessa

z^3-i^3=0

non converrebbe esprimere l'incognita z\in\mathbb{C} nella forma algebrica

(a+ib)^3-i^3=0

con z=a+ib,\ a,b\in\mathbb{R} (rispettivamente parte reale e parte immaginaria).

Piuttosto converrebbe scrivere l'equazione nella forma

z^3=i^3

ossia

z^3=-i\ \ \ (***)

e successivamente calcolare le soluzioni estraendo le tre radici complesse cubiche di -i.

Se decidessimo di procedere come hai proposto, ossia ponendo z=a+ib, avremmo

(a+ib)^3-i^3=0

Qui l'unica cosa da fare consisterebbe nel calcolare il cubo del binomio a+ib, mossa poco conveniente per evidenti motivi.

Passo a mostrarti il procedimento per risolvere

\left(i-\frac{1}{z}\right)^3-i^3=0

procedimento che include implicitamente la risoluzione dell'equazione (***). Innanzitutto riscrivo l'equazione ponendo w:=i-\frac{1}{z}

w^3-i^3=0

ossia

w^3=-i

Ora scrivo -i in forma trigonometrica:

-i=\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)

e applico la formula per le radici terze in campo complesso

\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{\rho}\left(\cos{\left(\frac{\theta+2k\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{3}\right)}\right)

per k=0,1,2, dove \rho=1 (modulo) e \theta=\frac{3}{2}\pi (argomento).

\sqrt[3]{-i}=\cos{\left(\frac{\frac{3}{2}\pi+2k\pi}{3}\right)}+i\sin{\left(\frac{\frac{3}{2}\pi+2k\pi}{3}\right)}\right)

da cui

n=0\ \to\ \cos{\left(\frac{\pi}{2}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\right)

ossia w_1=i.

n=1\ \to\ \cos{\left(\frac{7}{6}\pi\right)}+i\sin{\left(\frac{7}{6}\pi\right)}\right)

ossia w_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}.

n=2\ \to\ \cos{\left(\frac{11}{6}\pi\right)}+i\sin{\left(\frac{11}{6}\pi\right)}\right)

ossia w_3=+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}.

Ora torniamo all'incognita z. Dalle precedenti soluzioni ricaviamo 3 equazioni

1)\ \ \ i-\frac{1}{z}=i

2)\ \ \ i-\frac{1}{z}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}.

3)\ \ \ i-\frac{1}{z}=+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}


La prima equazione si riduce a

\frac{1}{z}=0

che è evidentemente impossibile.


La seconda

i-\frac{1}{z}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}.

diventa

\frac{1}{z}=+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i

Proviamo ad esprimere il primo membro in forma algebrica, ponendo z=a+ib

\frac{1}{a+ib}=+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i.

moltiplichiamo e dividiamo il primo membro per a-ib

\frac{a-ib}{a^2+b^2}=+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i.

ossia

\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}=+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i.

Dal confronto tra le parti reali e le parti immaginarie del primo e del secondo membro si ricava che l'equazione equivale al sistema

\begin{cases}\frac{a}{a^2+b^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{-b}{a^2+b^2}=\frac{3}{2}\end{cases}

ossia

\begin{cases}a=\frac{\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2)\\ -b=\frac{3}{2}(a^2+b^2)\end{cases}

Il sistema può essere risolto con l'ausilio del metodo grafico, basta osservare che le due equazioni individuano due circonferenze

\begin{cases}\sqrt{3}a^2+\sqrt{3}b^2-2a=0\\ \3a^2+3b^2+2b=0\end{cases}

Risolvendo il sistema troviamo come soluzioni

a=0,b=0\mbox{ N.A.}\ \ \ \mbox{ e }a=\frac{1}{2\sqrt{3}},b=-\frac{1}{2}

cui corrisponde l'unica soluzione complessa

z=+\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2}i


Per la terza equazione si procede in modo del tutto analogo

i-\frac{1}{z}=+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}

che diventa

\frac{1}{z}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i

da cui

\frac{a}{a^2+b^2}+i\frac{-b}{a^2+b^2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i

e quindi, per confronto tra parti reali e parti immaginarie, si giunge al sistema

\begin{cases}\frac{a}{a^2+b^2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{-b}{a^2+b^2}=\frac{3}{2}\end{cases}

che ammette come soluzioni

a=0,b=0\mbox{ N.A.}\ \ \ \mbox{ e }a=-\frac{1}{2\sqrt{3}},b=-\frac{1}{2}

ossia l'unica soluzione complessa

z=-\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2}i

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, gcappellotto47
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