Equazione complessa con potenza e sostituzione

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Equazione complessa con potenza e sostituzione #80579

avt
gcappellotto47
Cerchio
Buongiorno, ho visto questo "metodo" per risolvere la seguente equazione complessa con una potenza al cubo. Questa:

(i-(1)/(z))^3-i^3 = 0


Premessa: determino i numeri complessi a+ib tali che (a+ib)^3-i^3 = 0
osservo che i^3-i^3 = 0 e quindi a_0+ib_0 = i è una soluzione.
Se α^3-i^3 = 0 e β^3 = 1 allora (α β)^3-i^3 = α^3 β^3-i^3 = 0.

L'equazione β^3 = 1 ha tre soluzioni (1 = e^(i 2 π))
β_0 = e^(i(2π)/(3)), β_1 = e^(i (4π)/(3)), β_2 = e^(i (6π)/(3)) = 1

con soluzioni

iβ_0 = -(√(3))/(2)-(1)/(2)i, iβ_1 = -(√(3))/(2)-(1)/(2)i, iβ_2 = i


Data questa premessa, dovrei risolvere questa equazione:

(i-(1)/(z))^3-i^3 = 0

Queste sono le mie domande:

1) che relazione esiste fra il "metodo" e la soluzione dell'equazione?
2) come posso risolvere l'equazione con questo "metodo"?
3) esistono altri metodi per la soluzione dell'equazione?

Grazie e saluti
Giovanni C.
 
 

Equazione complessa con potenza e sostituzione #80601

avt
Omega
Amministratore
Premetto che ci sono diversi passaggi che non ho capito in riferimento a questo:

determinare i numeri complessi a+ib tali che (a+ib)^3-i^3 = 0

Se volessimo risolvere l'equazione complessa

z^3-i^3 = 0

non converrebbe esprimere l'incognita z∈C nella forma algebrica

(a+ib)^3-i^3 = 0

con z = a+ib, a,b∈R (rispettivamente parte reale e parte immaginaria).

Piuttosto converrebbe scrivere l'equazione nella forma

z^3 = i^3

ossia

z^3 = -i (***)

e successivamente calcolare le soluzioni estraendo le tre radici complesse cubiche di -i.

Se decidessimo di procedere come hai proposto, ossia ponendo z = a+ib, avremmo

(a+ib)^3-i^3 = 0

Qui l'unica cosa da fare consisterebbe nel calcolare il cubo del binomio a+ib, mossa poco conveniente per evidenti motivi.

Passo a mostrarti il procedimento per risolvere

(i-(1)/(z))^3-i^3 = 0

procedimento che include implicitamente la risoluzione dell'equazione (***). Innanzitutto riscrivo l'equazione ponendo w: = i-(1)/(z)

w^3-i^3 = 0

ossia

w^3 = -i

Ora scrivo -i in forma trigonometrica:

-i = cos((3)/(2)π)+isin((3)/(2)π)

e applico la formula per le radici terze in campo complesso

[3]√(z) = [3]√(ρ)(cos(((θ+2kπ)/(3)))+isin(((θ+2kπ)/(3))))

per k = 0,1,2, dove ρ = 1 (modulo) e θ = (3)/(2)π (argomento).

[3]√(-i) = cos((((3)/(2)π+2kπ)/(3)))+isin((((3)/(2)π+2kπ)/(3))))

da cui

n = 0 → cos(((π)/(2)))+isin(((π)/(2))))

ossia w_1 = i.

n = 1 → cos(((7)/(6)π))+isin(((7)/(6)π)))

ossia w_2 = -(√(3))/(2)-(i)/(2).

n = 2 → cos(((11)/(6)π))+isin(((11)/(6)π)))

ossia w_3 = +(√(3))/(2)-(i)/(2).

Ora torniamo all'incognita z. Dalle precedenti soluzioni ricaviamo 3 equazioni

1) i-(1)/(z) = i

2) i-(1)/(z) = -(√(3))/(2)-(i)/(2).

3) i-(1)/(z) = +(√(3))/(2)-(i)/(2)


La prima equazione si riduce a

(1)/(z) = 0

che è evidentemente impossibile.


La seconda

i-(1)/(z) = -(√(3))/(2)-(i)/(2).

diventa

(1)/(z) = +(√(3))/(2)+(3)/(2)i

Proviamo ad esprimere il primo membro in forma algebrica, ponendo z = a+ib

(1)/(a+ib) = +(√(3))/(2)+(3)/(2)i.

moltiplichiamo e dividiamo il primo membro per a-ib

(a-ib)/(a^2+b^2) = +(√(3))/(2)+(3)/(2)i.

ossia

(a)/(a^2+b^2)+i(-b)/(a^2+b^2) = +(√(3))/(2)+(3)/(2)i.

Dal confronto tra le parti reali e le parti immaginarie del primo e del secondo membro si ricava che l'equazione equivale al sistema

(a)/(a^2+b^2) = (√(3))/(2) ; (-b)/(a^2+b^2) = (3)/(2)

ossia

a = (√(3))/(2)(a^2+b^2) ;-b = (3)/(2)(a^2+b^2)

Il sistema può essere risolto con l'ausilio del metodo grafico, basta osservare che le due equazioni individuano due circonferenze

√(3)a^2+√(3)b^2-2a = 0 ; 3a^2+3b^2+2b = 0

Risolvendo il sistema troviamo come soluzioni

a = 0,b = 0 N.A. e a = (1)/(2√(3)),b = -(1)/(2)

cui corrisponde l'unica soluzione complessa

z = +(1)/(2√(3))-(1)/(2)i


Per la terza equazione si procede in modo del tutto analogo

i-(1)/(z) = +(√(3))/(2)-(i)/(2)

che diventa

(1)/(z) = -(√(3))/(2)+(3)/(2)i

da cui

(a)/(a^2+b^2)+i(-b)/(a^2+b^2) = -(√(3))/(2)+(3)/(2)i

e quindi, per confronto tra parti reali e parti immaginarie, si giunge al sistema

(a)/(a^2+b^2) = -(√(3))/(2) ; (-b)/(a^2+b^2) = (3)/(2)

che ammette come soluzioni

a = 0,b = 0 N.A. e a = -(1)/(2√(3)),b = -(1)/(2)

ossia l'unica soluzione complessa

z = -(1)/(2√(3))-(1)/(2)i

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, gcappellotto47
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