Esercizio su composizione di applicazioni lineari tra spazi di polinomi

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Esercizio su composizione di applicazioni lineari tra spazi di polinomi #80558

avt
Omega
Amministratore
Ecco un esercizio sulla composizione di applicazioni lineari definite tra spazi di polinomi, aperto per conto di Alessandra. emt

Sia V=\mathbb{R}^{\leq 2}[x] e W=\mathbb{R}^{\leq 1}[x], siano inoltre B=\{x^2,x,1\} e C=\{x,1\} basi di V e W rispettivamente e consideriamo le due funzioni f:V\to W e g:W\to V date da

f(P(x))=P'(x),\ \ \ g(Q(x))=xQ(x)

1) Verificare che f,g sono applicazioni lineari.

2) Determinare M_C^B(f) e M_B^C(g).

3) Determinare nucleo e immagine di f\circ g.

4) Determinare nucleo e immagine di g\circ f.
 
 

Re: Esercizio su composizione di applicazioni lineari tra spazi di polinomi #80565

avt
Omega
Amministratore
Vediamo come procedere. emt

Abbiamo due applicazioni lineari definite tra spazi di polinomi, e in particolare

f:\mathbb{R}^{\leq 2}[x] \to \mathbb{R}^{\leq 1}[x]

f(P(x))=P'(x)

dallo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al più 2 a quello dei polinomi di grado al più 1, e

g:\mathbb{R}^{\leq 1}[x] \to \mathbb{R}^{\leq 2}[x]

g(Q(x))=xQ(x)

da grado al più 1 a grado al più 2.

La prima cosa da fare consiste nel dare un volto alle due applicazioni lineari.

Per quanto riguarda f, consideriamo un generico polinomio P(x)=ax^2+bx+c e calcoliamone la derivata

f(P(x))=P'(x)=2ax+b

Già che ci siamo verifichiamo subito che si tratta di un'applicazione lineare, mostrando che ne soddisfa la definizione.

Lo zero viene mandato nello zero

f(0)=0

L'immagine della somma è la somma delle immagini. Prendiamo P_1(x)=a_1x^2+b_1x+c_1 e P_2(x)=a_2x^2+b_2x+c_2, e consideriamo

f(P_1+P_2)=(P_1+P_2)'=

dato che la derivata della somma è la somma delle derivate (regole di derivazione)

P_1'+P_2'=f(P_1)+f(P_2)

Infine, verifichiamo l'omogeneità e consideriamo un polinomio P ed uno scalare \gamma\in\mathbb{R}. Vogliamo provare che f(\gammaP)=\gamma f(P), ma anche in questo caso la tesi discende direttamente dalle regole di derivazione:

f(\gamma P)=(\gamma P)'=\gamma P'=\gamma f(P)

per cui f è lineare.


Passiamo a g. Consideriamo un polinomio di grado al più 1, del tipo Q(x)=mx+n

g(Q(x))=xQ(x)=mx^2+nx

Anche in questo caso non è difficile vedere che le tre proprietà relative alla definizione di applicazione lineare sono soddisfatte. Ad esempio, nel caso della somma basta ricordare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

G(Q_1+Q_2)=x(Q_1+Q_2)=\mbox{ distrib. }=xQ_1+xQ_2=g(Q_1)+g(Q_2)


Ora possiamo continuare. emt Per risolvere l'esercizio trasporteremo il tutto agli spazi vettoriali del tipo \mathbb{R}^n, facendo riferimento agli isomorfismi

\mathbb{R}^{\leq 2}[x]\simeq \mathbb{R}^3,\ \ ax^2+bx+c\to \left[\begin{matrix}a \\ b \\ c\end{matrix}\right]

\mathbb{R}^{\leq 1}[x]\simeq \mathbb{R}^2,\ \ mx+n\to\left[\begin{matrix}m \\ n \end{matrix}\right]

di cui tra l'altro parliamo nella lezione del primo link che ho riportato. Questo escamotage è perfetto nel nostro caso, anche perché dobbiamo lavorare con le basi canoniche \{x^2,x,1\} di \mathbb{R}^{\leq 2}[x] e \{x,1\} di \mathbb{R}^{\leq 1}[x], cui corrispondono rispettivamente le basi canoniche \{[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]\} di \mathbb{R}^3 e \{[1,0],[0,1]\} di \mathbb{R}^2.

In questo modo, in luogo delle applicazioni lineari f:\mathbb{R}^{\leq 2}[x]\to\mathbb{R}^{\leq 1}[x] e g:\mathbb{R}^{\leq 1}[x]\to\mathbb{R}^{\leq 2}[x], possiamo considerare le applicazioni

\tilde{f}([a,b,c])=[2a,b]

\tilde{g}([m,n])=[m,n,0]


Per individuare la matrice rappresentativa M_C^B(f) è sufficiente determinare le immagini dei vettori della base B mediante f, e disporle per colonna in una matrice.

\tilde{f}([1,0,0])=[2,0]

\tilde{f}([0,1,0])=[0,1]

\tilde{f}([0,0,1])=[0,0]

per cui

M_C^B(f)=M_C^B(\tilde{f})=\left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right]

In modo analogo possiamo determinare M_B^C(g)

\tilde{g}([1,0])=[1,0,0]

\tilde{g}([0,1])=[0,1,0]

per cui

M_B^C(g)=M_B^C(\tilde{g})=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right]


Ora viene il bello. emt Per determinare nucleo e immagine delle applicazioni lineari f\circ g e g\circ f il modo più furbo prevede di disporre, in entrambi i casi, di una qualsiasi matrice rappresentativa.

Alla luce della corrispondenza tra composizione di applicazioni lineari e prodotto tra matrici rappresentative, possiamo determinarle molto velocemente:

M_C^C(f\circ g)=\left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]

M_B^B(g\circ f)=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 2 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]

A questo punto, se sai come trovare la dimensione e una base di nucleo e immagine, non hai bisogno di calcoli. emt Infatti:

- in M_C^C(f\circ g) abbiamo due colonne linearmente indipendenti, per cui l'immagine ha dimensione 2 e coincide con \mathbb{R}^{\leq 1}[x] e di conseguenza il nucleo è banale (dimensione 0 grazie al teorema della nullità più rango).

- in M_B^B(g\circ f) abbiamo due colonne linearmente indipendenti, per cui l'immagine ha dimensione 2 ed ammette come base da \{2x^2,x\}. Il nucleo ha dimensione 1 e si determina considerando il sistema lineare

\left[\begin{matrix} 2 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}a \\ b \\ c\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0 \\ 0\\ 0 \end{matrix}\right]

che ammette come spazio delle soluzioni

\{[0,0,c]\mbox{ al variare di }c\in\mathbb{R}\}

cui corrisponde il sottospazio dei polinomi di \mathbb{R}^{\leq 2}[x] della forma

P(x)=c\mbox{ al variare di }c\in\mathbb{R}

in parole povere il sottospazio dei polinomi di grado zero. emt
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os