Studio di funzione arcoseno con radice

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Studio di funzione arcoseno con radice #80556

avt
yagamix
Cerchio
Salve Staff, devo eseguire uno studio di una funzione con arcoseno e radice, ma ho alcune domande e dubbi. La funzione deriva da un compito scritto di Analisi 1 per l'Università.

f(x) =\arcsin(\sqrt{ 1-4x^{2} })


:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo
 
 

Studio di funzione arcoseno con radice #80564

avt
Omega
Amministratore
Ok, vediamo come effettuare lo studio di funzione per

f(x) =\arcsin(\sqrt{ 1-4x^{2} })

e di rispondere alle varie domande che hai posto nel tuo messaggio. emt


Partiamo dal dominio. Tenendo presente che tutte le condizioni vanno poste a sistema, è sufficiente una rapida occhiata per capire che dobbiamo imporre:

- la condizione per l'esistenza della radice;
- la condizione per l'esistenza dell'arcoseno

Da qui abbiamo il sistema

\begin{cases}1-4x^{2} \geq 0\\ -1 \leq \sqrt{ 1-4x^{2} } \leq  1\end{cases}

In particolare la seconda condizione è data da una doppia disequazione, che equivale a sua volta ad un sistema

-1 \leq \sqrt{ 1-4x^{2} } \leq  1\ \Leftrightarrow\ \begin{cases}\sqrt{ 1-4x^{2} } \geq  -1\\ \sqrt{ 1-4x^{2} } \leq  1\end{cases}

In riferimento al sistema del dominio, possiamo inserire il tutto in un unico sistema

\begin{cases}1-4x^{2} \geq 0\\ \sqrt{ 1-4x^{2} }\geq -1 \\ \sqrt{ 1-4x^{2} } \leq  1\end{cases}

Ora dobbiamo tenere conto del fatto che le radici con indice pari sono per definizione non negative sul proprio dominio, ossia positive o al più uguali a zero. La condizione di esistenza per la radice è già espressa dalla prima disequazione del sistema, per cui possiamo osservare sin da subito che la seconda condizione è verificata \forall x per le quali risulta che 1-4x^2\geq 0.

In pratica possiamo ridurci a risolvere

\begin{cases}1-4x^{2} \geq 0 \\ \sqrt{ 1-4x^{2} } \leq  1\end{cases}

La prima condizione è individuata da una banalissima disequazione di secondo grado

4x^2-1\leq 0

che ammette come soluzioni

-\frac{1}{2}\leq x\leq +\frac{1}{2}

L'altra è una disequazione irrazionale (leggimi)

\sqrt{ 1-4x^{2} } \leq  1

che è soggetta alle condizioni espresse dalla precedente disequazione. Dato che il secondo membro è costante possiamo elevare entrambi i membri al quadrato

1-4x^{2} \leq  1

ottenendo così una disequazione di secondo grado

x^{2} \geq 0

che ammette come soluzioni \forall x.

In sintesi abbiamo ridotto il sistema per il dominio a

\begin{cases}-\frac{1}{2}\leq x\leq +\frac{1}{2}\\ \forall x\end{cases}

da cui il dominio

Dom(f)=\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]

Tutte le precedenti considerazioni dovrebbero rispondere alle tue domande relative al dominio ed alla risoluzione delle disequazioni. Ti rimando anche per sicurezza ad un'attenta lettura della lezione sui sistemi di disequazioni.


Purtroppo nel tuo svolgimento che hai commesso un errore nel calcolo del dominio, per cui tutto il resto dello studio di funzione che hai effettuato ne risulta compromesso. :(


Passiamo allo studio del segno. Dobbiamo risolvere la disequazione f(x)\geq 0, ossia

\arcsin(\sqrt{ 1-4x^{2} })\geq 0

che a discapito delle apparenze è immediata. Se infatti hai presente il comportamento della funzione arcoseno, saprai di certo che essa assume valori non negativi per x\in [0,1] e in particolare che essa si annulla quando l'argomento è nullo.

Dato che la radice presente all'argomento è sempre non negativa, ne consegue che la funzione assume solamente valori non negativi

\arcsin(\sqrt{ 1-4x^{2} })\geq 0\ \forall x\in Dom(f)

e che si annulla solamente quando l'argomento è nullo

f(x)=0\ \mbox{ sse }\sqrt{1-4x^2}=0\mbox{ sse }1-4x^2=0\mbox{ sse }x=\pm\frac{1}{2}

In pratica la funzione interseca l'asse delle ascisse agli estremi del dominio. Per quel che concerne l'intersezione con l'asse delle y ci basta valutare la funzione in x=0

y=f(0)=\arcsin(\sqrt{ 1-0 })=\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}

per cui la funzione interseca l'asse delle y in \left(0,\frac{\pi}{2}\right).


Studio di parità e disparità: è evidente che f è una funzione pari, infatti in accordo con la definizione

f(-x)=\arcsin(\sqrt{1-4(-x)^2})=\arcsin(\sqrt{1-4x^2})=f(x)

per cui essa avrà grafico simmetrico rispetto all'asse delle y.


Per i limiti agli estremi del dominio non dobbiamo fare nulla. Dal momento che la funzione è definita su un intervallo chiuso e limitato sono più che sufficienti le valutazioni della stessa agli estremi.


Studio della derivata prima per massimi e minimi.

Qui si parte dal calcolo della derivata, applicando il teorema di derivazione della funzione composta e tenendo ben presenti le formule per le derivate fondamentali.

f(x) =\arcsin(\sqrt{ 1-4x^{2} })

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]=\\ \\ \\ = \frac{d}{dx}\left[\arcsin\left(\sqrt{1-4x^2}\right)\right]= \\ \\ \\ =\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-4x^2})^2}}\cdot \frac{d}{dx}[\sqrt{1-4x^2}]=

Ora passiamo alla derivata della radice

=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-4x^2})^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-4x^2}}\cdot \frac{d}{dx}[1-4x^2]=

e quindi

=\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-4x^2})^2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1-4x^2}}\cdot (-8x)

Riscriviamo il tutto in una forma più compatta

f'(x)=\frac{-2x}{|x|\sqrt{1-4x^2}}

L'insieme di definizione della derivata prima si individua mediante il sistema di condizioni relativo:

- al non annullamento del denominatore;
- all'esistenza della radice

da cui

\begin{cases}|x|\sqrt{1-4x^2}\neq 0\\ 1-4x^2\geq 0\end{cases}

ossia

\begin{cases}|x|\neq 0\\ 1-4x^2> 0\end{cases}

che conduce a

-\frac{1}{2}<x<0\ \vee\ 0<x<+\frac{1}{2}

Il punto x=0 si candida come punto di non derivabilità per f(x) e possiamo classificarlo considerando il limite destro e il limite sinistro della derivata prima giacché soddisfa le ipotesi del teorema sul limite della derivata.

\\ \lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-2x}{|x|\sqrt{1-4x^2}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{-2x}{x\sqrt{1-4x^2}}=-2

Calcoliamo il limite sinistro tenendo conto del fatto che questa volta h tende a zero per valori negativi ed in questo caso |h|=-h

\\ \lim_{x\to 0^{-}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-2x}{|x|\sqrt{1-4x^2}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0^{-}}\frac{-2x}{-x\sqrt{1-4x^2}}=2

Il limite destro e il limite sinistro sono finiti ma non coincidono, di conseguenza x=0 è un punto angoloso per f(x).

Per lo studio del segno della derivata prima possiamo limitarci all'intervallo \left(0,+\frac{1}{2}\right), dato che abbiamo a che fare con una funzione pari. In tale intervallo è facile vedere che f'(x) è negativa e non serve alcun calcolo. Basta osservare che il valore assoluto e la radice quadrata individuano quantità non negative.

Da qui ne deduciamo che la funzione decresce per x\in \left(0,+\frac{1}{2}\right) e, per riflessione e per parità, cresce per \left(-\frac{1}{2},0\right).

I minimi assoluti della funzione sono ovviamente individuati dalle ascisse x=\pm \frac{1}{2}; il massimo assoluto invece e raggiunto per x=0, basta tenere conto dell'andamento della funzione sul proprio dominio.


Lo studio della derivata seconda può essere omesso in tutta serenità.


Per il grafico della funzione - click!
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby, yagamix
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