Disequazione trigonometrica di secondo grado con coseno

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Disequazione trigonometrica di secondo grado con coseno #80465

avt
elenae
Cerchio
Ciao, Avrei bisogno della spiegazione dettagliata su come risolvere la seguente disequazione goniometrica con il coseno

2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1>0

Arrivo alle due disequazioni

\cos(x) < -1 \mbox{ e } \cos(x) > 1

ma poi mi blocco, anche con il grafico.

Grazie!
 
 

Disequazione trigonometrica di secondo grado con coseno #80467

avt
Galois
Coamministratore
Ciao elenae emt

Per risolvere la seguente disequazione goniometrica - leggimi!

2\cos^2(x)-3\cos(x)+1>0

Procediamo per sostituzione, ponendo

y=\cos(x)

Ci riconduciamo alle seguente disequazione di secondo grado:

2y^2-3y+1>0

L'equazione di secondo grado associata

2y^2-3y+1=0

ha come soluzioni

y_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{9-8}}{4}=\frac{3\pm 1}{4}

Ossia

y_1=\frac{1}{2}, \ y_2=1

La disequazione

2y^2-3y+1>0

è allora soddisfatta per

y<\frac{1}{2} \ \vee \ y>1

Ricordando che avevamo posto

y=\cos(x)

ci riconduciamo alle due disequazioni elementari col coseno:

\bullet \ \cos(x)<\frac{1}{2}

\bullet \ \cos(x)>1

(Evidentemente, quindi, hai sbagliato qualcosa quando sei andata a calcolare le soluzioni della disequazione di secondo grado che si ottiene dopo la sostituzione).

Ad ogni modo:

\bullet \ \cos(x)>1

è, evidentemente, impossibile dal momento che la funzione coseno è una funzione limitata che assume valori nell'intervallo chiuso e limitato [-1,1] e quindi non esiste alcun valore di x tale che

\cos(x)>1

Procediamo allora alla risoluzione della seguente disequazione

\bullet \ \cos(x)<\frac{1}{2}

Disegniamo la circonferenza goniometrica e la retta di equazione x=\frac{1}{2}.

Essendo il verso della disequazione <, la disequazione è soddisfatta dai punti della circonferenza evidenziati in arancione, cioè quelli che stanno a sinistra della retta (estremi esclusi)

coseno di x minore di un mezzo


A questo punto, poiché le soluzioni dell'equazione goniometrica elementare associata

\cos(x)=\frac{1}{2}

sono (ricordando che la funzione coseno è una funzione periodica di periodo 2\pi)

x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \vee \ x=\frac{5}{3}\pi+2k\pi

la disequazione

\cos(x)<\frac{1}{2}

è soddisfatta per (ricorda che bisogna scrivere le soluzioni partendo da zero e procedendo in senso antiorario):

\frac{\pi}{3}+2k\pi < x < \frac{5}{3}\pi +2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

che corrispondono proprio ai punti della circonferenza evidenziati in arancione.

Inoltre, per quanto detto, tali soluzioni coincidono con le soluzioni della disequazione di partenza. emt
Ringraziano: Omega

Re: Disequazione trigonometrica di secondo grado con coseno #80478

avt
elenae
Cerchio
perfetto sbagliavo un passaggio
Ringraziano: Galois
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Os