Derivata e integrale funzione fratta con radice

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Derivata e integrale funzione fratta con radice #80381

avt
elenae
Cerchio
Ciao, non so come risolvere le derivate e gli integrali quando ho delle radici. Non capisco cosa devo fare.

In particolare, vorrei vedere come calcolare derivata prima ed integrale indefinito della funzione

f(x)=\frac{\sqrt{-6-2x}}{2x}

Grazie!
 
 

Derivata e integrale funzione fratta con radice #80464

avt
Galois
Amministratore
Ciao elenae emt

Va bene, vediamo dapprima come procedere per il calcolo del seguente integrale

\int{\left(\frac{\sqrt{-6-2x}}{2x}\right)dx}

Siamo in presenza di un integrale con funzione irrazionale - click!

Allora integriamo per sostituzione ponendo

\sqrt{-6-2x}=t

Possiamo disfarci della radice elevando ambo i membri al quadrato:

-6-2x=t^2

da cui possiamo ricavare

2x=-t^2-6

e, di conseguenza

2dx=-2t dt \iff dx=\frac{-2}{2}t dt = -tdt

Sostituendo avremo allora

\int{\left(\frac{\sqrt{-6-2x}}{2x}\right)dx}=\int{\left(\frac{t}{-t^2-6}\right)(-tdt)}=

=\int{\left(\frac{-t^2}{-(t^2+6)}\right)dt}=\int{\left(\frac{t^2}{t^2+6}\right)dt}

Ci siamo così ricondotti all'integrale di una funzione razionale. Innanzitutto possiamo utilizzare il seguente barbatrucco, ossia scrivere la funzione integranda come

\frac{t^2}{t^2+6}=\frac{t^2+6-6}{t^2+6}

(abbiamo aggiunto e sottratto 6 a numeratore) per poi sfruttare le proprietà di additività e linearità dell'integrale ed avere

\int{\left(\frac{t^2}{t^2+6}\right)dt}=\int{\left(\frac{t^2+6-6}{t^2+6}\right)dt}=

\int{\left(\frac{t^2+6}{t^2+6}\right)dt}-\int{\left(\frac{6}{t^2+6}\right)dt}=

\int{dt}-6\int{\left(\frac{1}{t^2+6}\right)dt}

Ora, avendo ben presenti gli integrali notevoli abbiamo

\bullet \ \int{dt}=t+c

Mentre per

\bullet \ 6\int{\left(\frac{1}{t^2+6}\right)dt}

possiamo raccogliere 6 a denominatore (che semplificheremo con il 6 fuori dal segno di integrale):

6\int{\left(\frac{1}{6\left(\frac{t^2}{6}+1\right)}\right)dt}=

=\int{\left(\frac{1}{\frac{t^2}{6}+1}\right)dt}=

Infine possiamo, riscrivere il denominatore come

=\int{\left(\frac{1}{\left(\frac{t}{\sqrt{6}}\right)^2+1}\right)dt}

Perché ho fatto tutto questo? In questo modo ci siamo quasi ricondotti all'integrale notevole:

\int{\left(\frac{f'(t)}{[f(t)]^2+1}\right)dt}=\arctan[f(t)]+c

Infatti la nostra

f(t)=\frac{t}{\sqrt{6}}

la cui derivata prima è

f'(t)=\frac{1}{\sqrt{6}}.

Quindi per avere effettivamente l'integrale notevole ricordato dobbiamo avere a denominatore un \frac{1}{\sqrt{6}}. Poco male. Ci basterà riscrivere l'integrale come:

=\sqrt{6}\int{\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{6}}}{\left(\frac{t}{\sqrt{6}}\right)^2+1}\right)dt}=

=\sqrt{6}\arctan\left[\frac{t}{\sqrt{6}}\right]+c

Ora dobbiamo solo mettere insieme i pezzi:

Partendo da

\int{\left(\frac{\sqrt{-6-2x}}{2x}\right)dx}

con il cambio di variabile

t=\sqrt{-6-2x}

ci siamo ricondotti a

\int{\left(\frac{t^2}{t^2+6}\right)dt}

che abbiamo poi riscritto come

\int{dt}-6\int{\left(\frac{1}{t^2+6}\right)dt}

Abbiamo poi calcolato questi due integrali ed ottenuto

\int{dt}=t+c

6\int{\left(\frac{1}{t^2+6}\right)dt}=\sqrt{6}\arctan\left[\frac{t}{\sqrt{6}}\right]+c

Quindi

\int{\left(\frac{t^2}{t^2+6}\right)dt}=\int{dt}-6\int{\left(\frac{1}{t^2+6}\right)dt}=

=t-\sqrt{6}\arctan\left[\frac{t}{\sqrt{6}}\right]+c

Non ci rimane altro da fare se non tornare alla variabile x. Avendo inizialmente imposto

t=\sqrt{-6-2x}

avremo

\int{\left(\frac{\sqrt{-6-2x}}{2x}\right)dx}=\sqrt{-6-2x}-\sqrt{6}\arctan\left[\frac{\sqrt{-6-2x}}{\sqrt{6}}\right]+c

E questo conclude il calcolo dell'integrale.

---------------------------

Vediamo ora come calcolare la derivata prima della funzione

f(x)=\frac{\sqrt{-6-2x}}{2x}

Dobbiamo allora calcolare la derivata di un rapporto. Avendo ben presenti le regole di derivazione, abbiamo che

\left[\frac{h(x)}{g(x)}\right]'=\frac{h'(x)\cdot g(x) - h(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

dove, nel nostro caso:

h(x)=\sqrt{-6-2x}

g(x)=2x

Dobbiamo allora calcolare la derivata prima di h(x) \mbox{ e di } g(x) e poi andare a sostituire nell'espressione precedente.

Ora, in virtù delle derivate di funzioni elementari abbiamo che

g'(x)=2

Mentre per la regole di derivazione di una funzione composta:

h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{-6-2x}}\cdot (-2) = \frac{-1}{\sqrt{-6-2x}} (***)

Sostituendo in

f'(x)=\left[\frac{h(x)}{g(x)}\right]'=\frac{h'(x)\cdot g(x) - h(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}

abbiamo

f'(x)=\frac{\frac{-1}{\sqrt{-6-2x}}\cdot 2x - \sqrt{-6-2x} \cdot 2}{[2x]^2}=

=\frac{\frac{-2x}{\sqrt{-6-2x}} - 2\sqrt{-6-2x}}{4x^2}

Così potrebbe già andar bene, ma possiamo sistemarla meglio

\frac{\frac{-2x}{\sqrt{-6-2x}} - 2\sqrt{-6-2x}}{4x^2}=\frac{\frac{-2x-2(-6-2x)}{\sqrt{-6-2x}}}{4x^2}=

=\frac{-2x+12+4x}{\sqrt{-6-2x}}\cdot \frac{1}{4x^2}=\frac{12+2x}{4x^2\sqrt{-6-2x}}=

=\frac{6+x}{2x^2\sqrt{-6-2x}}

Possiamo allora concludere che

\left[\frac{\sqrt{-6-2x}}{2x}\right]'=\frac{6+x}{2x^2\sqrt{-6-2x}}

emt

-----------
(***) Data la funzione

z=h(x)=\sqrt{-6-2x}

abbiamo, come funzione più esterna, la funzione radice con indice pari

z=g(y)=\sqrt{y}

la cui derivata è

g'(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}

e, come funzione interna, la funzione polinomiale

y=f(x)=-6-2x

la cui derivata prima è

f'(x)=-2

Pertanto per il teorema sulla derivazione di una funzione composta (che trovi nella lezione che ti prima linkato) abbiamo

h'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{-6-2x}}\cdot (-2)=\frac{-1}{\sqrt{-6-2x}}

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Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby

Re: Derivata e integrale funzione fratta con radice #80480

avt
elenae
Cerchio
grazie mille!!!
Ringraziano: Galois
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Os