Equazione della parabola avendo vertice e fuoco

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Equazione della parabola avendo vertice e fuoco #80378

avt
elenae
Cerchio
Ciao, mi servirebbe lo svolgimento di questo problema sull'equazione di una parabola avendo il vertice e il fuoco.

Scrivere l'equazione della parabola avente il vertice nel punto (1;0) e il fuoco nel punto (1;14).

Grazie mille!
 
 

Equazione della parabola avendo vertice e fuoco #80383

avt
Galois
Coamministratore
Ciao elenae. emt

Dobbiamo determinare l'equazione di una parabola avente vertice nel punto

V(1,0)

e fuoco di coordinate cartesiane

F(1, 14)

Dal momento che fuoco e vertice giacciono sulla retta di equazione

x=1

(si deduce facilmente osservando i due punti e notando che hanno stessa ascissa)

possiamo concludere che la parabola cercata ha asse di simmetria parallelo all'asse y. Di conseguenza la sua equazione sarà della forma

y=ax^2+bx+c, \mbox{ con } a\neq 0

Dobbiamo allora determinare il valore dei tre parametri a, \ b \mbox{ e } c sfruttando i dati che abbiamo, ossia le coordinate del vertice e del fuoco.

Ora, le coordinate del vertice di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y sono date da:

V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right)

mentre le coordinate del fuoco della parabola si ottengono come

F\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a}\right)

Sapendo che, per la parabola che stiamo cercando, deve essere

V(1,0) \mbox{ e } F(1, 14)

dobbiamo imporre che valgano le seguenti relazioni (che metteremo a sistema)

\begin{cases}-\frac{b}{2a}=1 \to \mbox{ ascissa di fuoco e vertice}\\ -\frac{\Delta}{4a}=0 \to \mbox{ ordinata del vertice} \\ \frac{1-\Delta}{4a}=14 \to \mbox{ ordinata del fuoco}\end{cases}

Dalla prima relazione otteniamo

b=-2a

dalla seconda (ricordiamo che a\neq 0 altrimenti non abbiamo più una parabola) si ha

-\Delta=0 \iff \Delta=0

e, sostituendo nella terza vien fuori

\frac{1}{4a}=14

Il sistema lo possiamo allora riscrivere come

\begin{cases}b=-2a \\ \Delta=0\\ \frac{1}{4a}=14\end{cases}

Risolviamo l'ultima equazione di primo grado nell'incognita a

\frac{1}{4a}=14 \iff 1=56a \iff a=\frac{1}{56}

Sostituendo nella prima equazione, il sistema si riconduce a

\begin{cases}b=-2a=-\frac{1}{28} \\ \Delta=0\\ a=\frac{1}{56}\end{cases}

Infine, per com'è definito il discriminante, dalla seconda equazione del sistema possiamo ricavare il valore del parametro c. Infatti

\Delta=0 \iff b^2-4ac=0 \iff

(sostituendo i valori trovati per i parametri a \mbox{ e } b)

\iff \frac{1}{784}-\frac{1}{14}c=0 \iff \frac{1}{14}c=\frac{1}{784}

Abbiamo allora

c=\frac{1}{784}\cdot 14 = \frac{1}{56}

L'equazione cercata è allora

y=\frac{1}{56}x^2-\frac{1}{28}x+\frac{1}{56}

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby
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Os