Equazione della parabola avendo vertice e fuoco

Ciao, mi servirebbe lo svolgimento di questo problema sull'equazione di una parabola avendo il vertice e il fuoco.

Scrivere l'equazione della parabola avente il vertice nel punto e il fuoco nel punto .

Grazie mille!

Ciao elenae.

Dobbiamo determinare l'equazione di una parabola avente vertice nel punto



e fuoco di coordinate cartesiane



Dal momento che fuoco e vertice giacciono sulla retta di equazione



(si deduce facilmente osservando i due punti e notando che hanno stessa ascissa)

possiamo concludere che la parabola cercata ha asse di simmetria parallelo all'asse y. Di conseguenza la sua equazione sarà della forma



Dobbiamo allora determinare il valore dei tre parametri sfruttando i dati che abbiamo, ossia le coordinate del vertice e del fuoco.

Ora, le coordinate del vertice di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y sono date da:



mentre le coordinate del fuoco della parabola si ottengono come



Sapendo che, per la parabola che stiamo cercando, deve essere



dobbiamo imporre che valgano le seguenti relazioni (che metteremo a sistema)



Dalla prima relazione otteniamo



dalla seconda (ricordiamo che altrimenti non abbiamo più una parabola) si ha



e, sostituendo nella terza vien fuori



Il sistema lo possiamo allora riscrivere come



Risolviamo l'ultima equazione di primo grado nell'incognita



Sostituendo nella prima equazione, il sistema si riconduce a



Infine, per com'è definito il discriminante, dalla seconda equazione del sistema possiamo ricavare il valore del parametro . Infatti



(sostituendo i valori trovati per i parametri )



Abbiamo allora



L'equazione cercata è allora