Sistema lineare a tre incognite con Rouché Capelli

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Sistema lineare a tre incognite con Rouché Capelli #80264

avt
elenae
Cerchio
Ciao, come si risolve questo sistema lineare dopo averne studiato la compatibilità con Rouché Capelli?

\begin{cases}16 + 4a + c = 0\\ 8 - 2a + 2b + c = 0\\ -\frac{3a}{2} + b - 1 = 0\end{cases}

Grazie!
 
 

Sistema lineare a tre incognite con Rouché Capelli #80368

avt
Galois
Amministratore
Ciao elenae emt

Abbiamo il sistema lineare

\begin{cases}16 + 4a + c = 0\\ 8 - 2a + 2b + c = 0\\ -\frac{3}{2}a + b - 1 = 0\end{cases}

Innanzitutto scriviamolo in forma normale

\begin{cases}4a + c = -16\\ - 2a + 2b + c = -8\\ -\frac{3}{2}a + b = 1\end{cases}

E, prima di procedere con la risoluzione vera e propria, studiamo la compatibilità del sistema applicando il teorema di Rouché Capelli - click!

La matrice incompleta associata al sistema è

A=\left[\begin{matrix} 4 & 0 & 1\\ -2 & 2 & 1 \\ -\frac{3}{2} & 1 & 0 \end{matrix}\right]

il cui rango è massimo, ossia

\mbox{rango}(A)=3=\mbox{numero incognite}.

Infatti, procedendo con la regola di Sarrus si trova che il determinante della matrice A è non nullo.

Ora, dal momento che la matrice A è una sottomatrice (di ordine massimo) della matrice completa

(A|b)=\left[\begin{matrix} 4 & 0 & 1 & -16\\ -2 & 2 & 1 & -8\\ -\frac{3}{2} & 1 & 0 & 1 \end{matrix}\right]

associata al sistema, abbiamo che anche il rango di (A|b) è massimo ed uguale a 3, ossia

\mbox{rango}(A)=3=\mbox{rango}(A|b)=\mbox{numero incognite}

Allora il sistema è compatibile ed ammette una ed una sola soluzione.

Per trovarla possiamo procedere, ad esempio, con il metodo di sostituzione per i sistemi lineari

\begin{cases}4a + c = -16\\ - 2a + 2b + c = -8\\ -\frac{3}{2}a + b = 1\end{cases}

Dall'ultima equazione abbiamo

b=\frac{3}{2}a+1

Sostituendo nella seconda equazione si ottiene

- 2a + 2\left(\frac{3}{2}a+1\right) + c = -8

da cui

- 2a + 3a + 2 + c = -8

a + c = -10

Possiamo allora riscrivere il sistema come

\begin{cases}4a + c = -16\\ a+c=-10 \\ b=\frac{3}{2}a + 1\end{cases}

Ancora, possiamo ricavare

c=-4a-16

dalla prima equazione e sostituire nella seconda

a+(-4a-16)=-10 \iff a-4a=-10+16 \iff -3a=6 \iff a=-2

Avremo così

\begin{cases}4a + c = -16\\ a-2 \\ b=\frac{3}{2}a + 1\end{cases}

Da cui la soluzione

\begin{cases}c = -8 \\ a-2 \\ b=-2\end{cases}

Volendo potresti procedere con uno qualsiasi degli altri metodi elencati nella lezione sui sistemi lineari - click! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Sistema lineare a tre incognite con Rouché Capelli #80375

avt
elenae
Cerchio
perfetto grazie!
Ringraziano: Galois
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Os