Dominio di una funzione e limiti agli estremi del dominio

Ciao, dopo aver calcolato il dominio della funzione



mi ritrovo a calcolare



che dovrebbe essere una forma indeterminata, ma non so come venirne fuori. Potete aiutarmi?

Grazie!

Ciao elenae.

Quel limite non ha ragion d'esistere e ciò è dovuto al fatto che, purtroppo, hai sbagliato a calcolare il dominio della funzione



Vediamo un po' come fare..

Poiché sono presenti due logaritmi (aventi lo stesso argomento) dobbiamo imporre:



Inoltre dobbiamo imporre che il denominatore sia sia diverso da zero, ossia



Trovare il dominio della funzione data equivale allora a risolvere il sistema



Procediamo. La prima è una semplicissima disequazione di primo grado:



Per la seconda invece possiamo procedere come visto nelle equazioni logaritmiche solo che, invece del simbolo di uguaglianza avremo .



Le condizioni di esistenza sono date da . Passando all'esponenziale abbiamo invece



Siamo a posto in quanto è un valore maggiore di -1.

Il sistema di partenza lo possiamo allora scrivere come



Rappresentiamo graficamente quanto trovato



Le linee in rosso rappresentano le soluzioni del sistema. Basta procedere come visto per i sistemi di disequazioni - click! Abbiamo quindi



Pertanto, procedendo con lo studio di funzione occorre calcolare i seguenti limiti:









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Ti faccio vedere come procedere al calcolo del seguente



Dal momento che, basta osservare il grafico della funzione logaritmo(***), per x che tende a più infinito, , procedendo per sostituzione diretta si ottiene la forma indeterminata



Per uscirne fuori, basta procedere con la sostituzione



Ora, abbiamo che già detto che per

Pertanto possiamo riscrivere il limite come



In quanto siamo in presenza di un limite per x che tende ad un valore infinito di una funzione razionale avente a numeratore e denominatore due polinomi dello stesso grado. Il valore del limite è quindi dato dal rapporto tra i coefficienti di numeratore e denominatore di grado massimo, ossia





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(***) Come abbiamo spiegato nella guida sul grafico intuitivo di una funzione, il grafico della funzione



è il traslato verso sinistra del grafico della funzione logaritmo (con base maggiore di uno). Pertanto le due funzioni hanno lo stesso comportamento per x che tende a più infinito.

perfetto grazie!