Dominio di una funzione e limiti agli estremi del dominio

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Dominio di una funzione e limiti agli estremi del dominio #80263

avt
elenae
Cerchio
Ciao, dopo aver calcolato il dominio della funzione

f(x)=\frac{\log(x+1)}{-2-\log(x+1)}

mi ritrovo a calcolare

\lim_{x\to -\infty}{\frac{\log(x+1)}{-2-\log(x+1)}}

che dovrebbe essere una forma indeterminata, ma non so come venirne fuori. Potete aiutarmi?

Grazie!
 
 

Dominio di una funzione e limiti agli estremi del dominio #80367

avt
Galois
Amministratore
Ciao elenae. emt

Quel limite non ha ragion d'esistere e ciò è dovuto al fatto che, purtroppo, hai sbagliato a calcolare il dominio della funzione

f(x)=\frac{\log(x+1)}{-2-\log(x+1)}

Vediamo un po' come fare..

Poiché sono presenti due logaritmi (aventi lo stesso argomento) dobbiamo imporre:

x+1>0 \to \mbox{ Prima condizione}

Inoltre dobbiamo imporre che il denominatore sia sia diverso da zero, ossia

-2-\log(x+1) \neq 0 \to \mbox{ Seconda condizione}

Trovare il dominio della funzione data equivale allora a risolvere il sistema

\begin{cases} x+1>0 \\ -2-\log(x+1) \neq 0\end{cases}

Procediamo. La prima è una semplicissima disequazione di primo grado:

x+1>0 \iff x>-1

Per la seconda invece possiamo procedere come visto nelle equazioni logaritmiche solo che, invece del simbolo di uguaglianza avremo \neq.

-2-\log(x+1) \neq 0 \iff -\log(x+1)\neq 2 \iff \log(x+1)\neq -2

Le condizioni di esistenza sono date da x>-1. Passando all'esponenziale abbiamo invece

\log(x+1)\neq -2 \iff x+1 \neq e^{-2} \iff x+1 \neq \frac{1}{e^2} \iff x \neq \frac{1}{e^2}-1

Siamo a posto in quanto è un valore maggiore di -1.

Il sistema di partenza lo possiamo allora scrivere come

\begin{cases} x>-1 \\ x \neq \frac{1}{e^2}-1 \end{cases}

Rappresentiamo graficamente quanto trovato

sistema con disequazione e disuguaglianza


Le linee in rosso rappresentano le soluzioni del sistema. Basta procedere come visto per i sistemi di disequazioni - click! Abbiamo quindi

\mbox{Dom}[f(x)]=\left(-1, \frac{1}{e^2}-1\right) \cup \left(\frac{1}{e^2}-1, +\infty\right)

Pertanto, procedendo con lo studio di funzione occorre calcolare i seguenti limiti:

\lim_{x\to -1^+}{f(x)}

\lim_{x\to \left(\frac{1}{e^2}-1\right)^-}{f(x)}

\lim_{x\to \left(\frac{1}{e^2}-1\right)^+}{f(x)}

\lim_{x\to +\infty}{f(x)}

------------

Ti faccio vedere come procedere al calcolo del seguente

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\log(x+1)}{-2-\log(x+1)}}

Dal momento che, basta osservare il grafico della funzione logaritmo(***), per x che tende a più infinito, \log(x+1) \to +\infty, procedendo per sostituzione diretta si ottiene la forma indeterminata

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\log(x+1)}{-2-\log(x+1)}}=\left[\frac{+\infty}{-\infty}\right]

Per uscirne fuori, basta procedere con la sostituzione

y=\log(x+1)

Ora, abbiamo che già detto che per x\to +\infty, \ \log(x+1)=y \to +\infty

Pertanto possiamo riscrivere il limite come

\lim_{y\to +\infty}{\frac{y}{-2-y}}=-1

In quanto siamo in presenza di un limite per x che tende ad un valore infinito di una funzione razionale avente a numeratore e denominatore due polinomi dello stesso grado. Il valore del limite è quindi dato dal rapporto tra i coefficienti di numeratore e denominatore di grado massimo, ossia

\frac{1}{-1}=-1

emt

-----------

(***) Come abbiamo spiegato nella guida sul grafico intuitivo di una funzione, il grafico della funzione

f(x)=\log(x+1)

è il traslato verso sinistra del grafico della funzione logaritmo (con base maggiore di uno). Pertanto le due funzioni hanno lo stesso comportamento per x che tende a più infinito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Dominio di una funzione e limiti agli estremi del dominio #80376

avt
elenae
Cerchio
perfetto grazie!
Ringraziano: Galois
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Os