Insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice

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Insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice #80260

avt
elenae
Cerchio
Ciao, devo trovare l'insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice. Mi spieghereste come fare?

Trovare il dominio della funzione

f(x)=\log\left(\sqrt{x^2 + 2x} +7x - 1\right)

Grazie!
 
 

Insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice #80275

avt
Galois
Amministratore
Ciao,

il dominio della funzione

f(x)=\log\left(\sqrt{x^2+2x}+7x-1\right)

si trova imponendo che l'argomento del logaritmo sia positivo, ossia

\sqrt{x^2+2x}+7x-1 > 0

e che il radicando della radice con indice pari sia non negativo:

x^2+2x \ge 0

Dobbiamo pertanto risolvere il sistema di disequazioni

(\spadesuit) \ \begin{cases}\sqrt{x^2+2x}+7x-1>0 \\ \\ x^2+2x\ge 0 \end{cases}

Partiamo dalla prima condizione

\sqrt{x^2+2x}+7x-1>0 \ \to \ \sqrt{x^2+2x}>1-7x

che è una disequazione irrazionale del tipo

\sqrt[n]{g(x)}>h(x), \ \mbox{ con } g(x)=x^2+2x, \ h(x)=1-7x

Le soluzioni di tale disequazione è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi

(1) \begin{cases}1-7x\ge 0 \\ \\ x^2+2x>(1-7x)^2 \end{cases} \bigcup \ (2)\begin{cases}1-7x< 0 \\ \\ x^2+2x\ge 0 \end{cases}

Partiamo dal primo sistema

(1) \begin{cases}1-7x\ge 0 \\ \\ x^2+2x>(1-7x)^2 \end{cases}

La prima è una disequazione di primo grado:

1-7x\ge 0\ \to \ 7x\le 1 \ \to \ x \le \frac{1}{7}

Procediamo ora con la seconda disequazione

x^2+2x>(1-7x)^2

Sviluppiamo dapprima il quadrato di binomio

x^2+2x>1-14x+49

portiamo tutto a primo membro e svolgiamo i conti

-48x^2+16x-1>0 \ \to \ 48x^2-16x+1 < 0

Abbiamo ottenuto una disequazione di secondo grado soddisfatta per

\frac{1}{12}<x<\frac{1}{4}

Il sistema

(1) \begin{cases}1-7x\ge 0 \\ \\ x^2+2x>(1-7x)^2 \end{cases}

equivale allora a

(1) \begin{cases}x\le \frac{1}{7} \\ \\ \frac{1}{12}<x<\frac{1}{4} \end{cases}

Intersechiamo le condizioni, così da ottenere l'insieme soluzione

S_{(1)}: \ \frac{1}{12}<x\le \frac{1}{7}

Consideriamo il secondo sistema

(2) \ \begin{cases}1-7x<0 \\ \\ x^2+2x\ge 0 \end{cases}

equivalente al seguente

(2) \ \begin{cases}x>\frac{1}{7} \\ \\ x\le -2 \ \vee \ x\ge 0 \end{cases}

da cui ricaviamo che il sistema è soddisfatto nell'insieme

S_{(2)}: \ x>\frac{1}{7}

Ricordiamo ora che le soluzione della disequazione irrazionale

\sqrt{x^2+2x}+7x-1>0

sono date dall'unione delle soluzioni dei due sistemi, ossia

S_{(1)} \cup S_{(2)}=\left(\frac{1}{12},+\infty\right)

Siamo ad un passo dal determinare il dominio della funzione, soluzione del sistema

(\spadesuit) \ \begin{cases}\sqrt{x^2+2x}+7x-1>0 \\ \\ x^2+2x \ge 0 \end{cases}

Abbiamo già risolto la prima disequazione

\sqrt{x^2+2x}+7x-1>0 \ \to \ x>\frac{1}{12}

così come la seconda

x^2+2x \ge 0 \ \to \ x\le -2 \ \vee \ x\ge 0

Intersecando queste due soluzioni otteniamo che il dominio della funzione è

Dom(f)=\left(\frac{1}{12}, +\infty\right)

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Vincenzo.96

Re: Insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice #80364

avt
elenae
Cerchio
Grazie!
Ringraziano: Galois
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Os