Insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice

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Insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice #80260

elenae Cerchio	Ciao, devo trovare l'insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice. Mi spieghereste come fare? Trovare il dominio della funzione Grazie!

Insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice #80275

Galois

Amministratore

Ciao,

il dominio della funzione

si trova imponendo che l'argomento del logaritmo sia positivo, ossia

e che il radicando della radice con indice pari sia non negativo:

Dobbiamo pertanto risolvere il sistema di disequazioni

(spadesuit) √(x^2+2x)+7x-1 > 0 ; x^2+2x ≥ 0

(spadesuit) √(x^2+2x)+7x-1 > 0 ; x^2+2x ≥ 0

Partiamo dalla prima condizione

che è una disequazione irrazionale del tipo

Le soluzioni di tale disequazione è data dall'unione delle soluzioni dei due sistemi

(1) 1-7x ≥ 0 ; x^2+2x > (1-7x)^2 U (2)1-7x < 0 ; x^2+2x ≥ 0

(1) 1-7x ≥ 0 ; x^2+2x > (1-7x)^2 U (2)1-7x < 0 ; x^2+2x ≥ 0

Partiamo dal primo sistema

(1) 1-7x ≥ 0 ; x^2+2x > (1-7x)^2

(1) 1-7x ≥ 0 ; x^2+2x > (1-7x)^2

La prima è una disequazione di primo grado:

Procediamo ora con la seconda disequazione

Sviluppiamo dapprima il quadrato di binomio

portiamo tutto a primo membro e svolgiamo i conti

Abbiamo ottenuto una disequazione di secondo grado soddisfatta per

Il sistema

(1) 1-7x ≥ 0 ; x^2+2x > (1-7x)^2

(1) 1-7x ≥ 0 ; x^2+2x > (1-7x)^2

equivale allora a

(1) x ≤ (1)/(7) ; (1)/(12) < x < (1)/(4)

(1) x ≤ (1)/(7) ; (1)/(12) < x < (1)/(4)

Intersechiamo le condizioni, così da ottenere l'insieme soluzione

Consideriamo il secondo sistema

(2) 1-7x < 0 ; x^2+2x ≥ 0

(2) 1-7x < 0 ; x^2+2x ≥ 0

equivalente al seguente

(2) x > (1)/(7) ; x ≤ -2 ∨ x ≥ 0

(2) x > (1)/(7) ; x ≤ -2 ∨ x ≥ 0

da cui ricaviamo che il sistema è soddisfatto nell'insieme

Ricordiamo ora che le soluzione della disequazione irrazionale

sono date dall'unione delle soluzioni dei due sistemi, ossia

Siamo ad un passo dal determinare il dominio della funzione, soluzione del sistema

(spadesuit) √(x^2+2x)+7x-1 > 0 ; x^2+2x ≥ 0

(spadesuit) √(x^2+2x)+7x-1 > 0 ; x^2+2x ≥ 0

Abbiamo già risolto la prima disequazione

così come la seconda

Intersecando queste due soluzioni otteniamo che il dominio della funzione è

Ecco fatto!

Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby, Vincenzo.96

Re: Insieme di definizione di una funzione con logaritmo e radice #80364

elenae Cerchio	Grazie!
	Ringraziano: Galois

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