Condizioni di esistenza di una funzione fratta con logaritmo e radice

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Condizioni di esistenza di una funzione fratta con logaritmo e radice #80259

avt
elenae
Cerchio
Ciao, mi servirebbero i passaggi per arrivare alle condizioni di esistenza di una funzione fratta con logaritmo e sotto radice.

Determinare l'insieme di esistenza della funzione

f(x)=\sqrt{\frac{\log(x-2)+1}{x^2-9}}

Grazie!
 
 

Condizioni di esistenza di una funzione fratta con logaritmo e radice #80274

avt
Galois
Coamministratore
Eccoci qua,

per trovare il dominio della funzione

f(x)=\sqrt{\frac{\log(x-2)+1}{x^2-9}}

dobbiamo imporre tre condizioni.

Richiediamo che il radicando della radice quadrata sia non negativo, ossia

\frac{\log(x-2)+1}{x^2-9}\ge 0 \to \mbox{ Prima condizione}

L'argomento del logaritmo deve essere maggiore di zero:

x-2>0 \to \mbox{ Seconda condizione}

Il denominatore, infine, non può annullarsi

x^2-9 \neq 0 \to \mbox{ Terza condizione}

Sottolineiamo però che la terza condizione è inclusa nella prima in quanto nel momento in cui si procede con lo studio del segno di una disequazione fratta si impone che il denominatore sia positivo (e dunque non nullo).

Alla luce di ciò, trovare il dominio della funzione data, equivale a risolvere il seguente sistema di disequazioni

(1) \ \begin{cases}\frac{\log(x-2)+1}{x^2-9}\ge 0 \\ \\ x-2>0 \end{cases}

La seconda equazione è, ovviamente, verificata per

x-2>0 \ \to \ x>2

Procediamo poi con la disequazione fratta

\frac{\log(x-2)+1}{x^2-9}\ge 0

Studiamo il segno di numeratore e denominatore.

N(x)\ge 0 \to \log(x-2)+1 \ge 0 \ \to \ \log(x-2) \ge -1

Siamo di fronte ad una disequazione logaritmica le cui soluzioni coincidono con le soluzioni del sistema di disequazioni

(2) \ \begin{cases} x-2>0 \\ \\ \log(x-2) \ge -1 \end{cases}

Ora:

x-2>0\ \to \ x>2

(è una banalissima disequazione di primo grado)

mentre, passando all'esponenziale, ricaviamo:

\log(x-2) \ge -1 \ \to \ x-2 \ge e^{-1} \ \to \ x\ge 2+\frac{1}{e}

infatti, per come sono definite le potenze con esponente negativo: e^{-1}=\frac{1}{e}.

Le soluzioni del sistema (2), ossia della disequazione logaritmica sono date da

x\ge 2+\frac{1}{e}

Procediamo con lo studio del segno del denominatore che dovremo porre maggiore di zero, ottenendo così una disequazioni di secondo grado:

x^2-9>0 \ \to \ x<-3 \ \vee \ x>3

Con l'aiuto di una tabella per lo studio del segno

studio disequazione fratta per dominio


possiamo concludere che la disequazione fratta

\frac{\log(x-2)+1}{x^2-9}\ge 0

ha come soluzioni

-3<x\le 2+\frac{1}{e} \ \vee \ x>3

Il sistema

(1) \ \begin{cases}\frac{\log(x-2)+1}{x^2-9}\ge 0 \\ \\ x-2 >0 \end{cases}

equivale quindi a

\begin{cases}-3<x\le 2+\frac{1}{e} \ \vee \ x>3 \\ \\ x > 2 \end{cases}

Rappresentiamo le soluzioni e intersechiamole:

risoluzione sistema per dominio


ricavando che il dominio della funzione data è

Dom(f)=\left(2,2+\frac{1}{e}\right]\cup(3,+\infty)

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, CarFaby

Re: Condizioni di esistenza di una funzione fratta con logaritmo e radice #80361

avt
elenae
Cerchio
grazie!
Ringraziano: Galois
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Os