Limite fratto con radici e logaritmi

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Limite fratto con radici e logaritmi #79804

avt
Paolina_1
Punto
Buongiorno, approfitto ancora della vostra disponibilità per la risoluzione di questo limite fratto con radici e log:

\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{\ln(x)}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+x\ln(x)}

Avrei bisogno di una spiegazione nella risoluzione con i passaggi, con Taylor e se possibile con i limiti notevoli.

Cordiali saluti e grazie Paola
 
 

Limite fratto con radici e logaritmi #79817

avt
Omega
Amministratore
Tieni conto che la risoluzione del limite

\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{\ln(x)}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+x\ln(x)}

non prevede né l'utilizzo dei limiti notevoli, né la procedura di calcolo dei limiti con Taylor (anche perché alcune delle funzioni coinvolte non sono sviluppabili nell'intorno di x=0).

In questo caso possiamo cavarcela egregiamente con opportuni ragionamenti sul confronto tra infinitesimi.

Consideriamo separatamente numeratore

\frac{x}{\ln(x)}+\sqrt{x}

e denominatore

2\sqrt{x}+x\ln(x)

Tutti gli addendi coinvolti generano infinitesimi al tendere di x\to 0^+. Gli unici sui quali potremmo aver dei dubbi sono:


- il termine \frac{x}{\ln(x)}. In questo caso abbiamo un rapporto tra un infinitesimo ed un infinito (in caso di dubbi, dai un'occhiata al grafico della funzione logaritmica per x\to 0^+), per cui grazie alle regole dell'Algebra di infiniti e infinitesimi \frac{0^+}{-\infty} corrisponde a 0^-.


- Il termine x\ln(x). Il fatto che

\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0

può essere dato per noto o meno a seconda del livello di preparazione in Analisi. Nel caso non ne fossi al corrente, puoi trovare tutte le relative considerazioni nell'esercizio svolto relativo allo studio di xlogx, ed in particolare nella parte dello svolgimento relativa ai limiti.


Ora torniamo al limite proposto originariamente:

\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{\ln(x)}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+x\ln(x)}

Come spiegato nella lezione sul confronto tra infinitesimi, dobbiamo individuare sia a numeratore che a denominatore l'infinitesimo di ordine inferiore (o infinitesimo di ordine principale).


A numeratore è facile capire che \sqrt{x} è un infinitesimo di ordine inferiore a \frac{x}{\ln(x)} al tendere di x\to 0^+. Un modo per vederlo consiste nell'applicare la definizione di infinitesimo di ordine inferiore e considerare il rapporto

\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}}{\frac{x}{\ln(x)}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}\ln(x)}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=-\infty

dove il risultato discende dall'Algebra di infiniti e infinitesimi.


Ragioniamo sul denominatore. Qui dobbiamo capire quale tra \sqrt{x} e x\ln(x) costituisce l'infinitesimo di ordine inferiore per x\to 0^+. Nulla ci vieta di applicare la definizione e di considerare

\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}}{x\ln(x)}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}\ln(x)}=-\infty

In questo caso il risultato dipende dal fatto che*** \sqrt{x}\ln(x)\to_{x\to 0^+}0^-, per cui \frac{1}{\sqrt{x}\ln(x)}\to -\infty, e ne deduciamo che \sqrt{x} genera un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a x\ln(x) al tendere di x\to 0^+.

***risultato che si prova in modo del tutto analogo rispetto a quanto visto nel caso di xlogx.


Per calcolare il limite ci basta raccogliere sia a numeratore che a denominatore i rispettivi infinitesimi di ordine inferiore

\\ \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{\ln(x)}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+x\ln(x)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x}\left(\frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}+1\right)}{\sqrt{x}\left(2+\sqrt{x}\ln(x)\right)}=

semplifico

=\lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}+1}{2+\sqrt{x}\ln(x)}=\frac{1}{2}

Alla luce delle precedenti considerazioni nel passaggio al limite i due addendi non costanti tendono a zero e ci resta solamente \frac{1}{2} dunque il limite proposto inizialmente vale \frac{1}{2}.

Metodo alternativo

Gli ultimi passaggi algebrici possono essere bypassati usando a dovere il principio di eliminazione degli infinitesimi di ordine superiore. Dopo aver effettuato l'analisi sull'ordine degli infinitesimi possiamo subito scrivere il risultato del limite dopo aver effettuato la dovuta semplificazione

\\ \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{\ln(x)}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+x\ln(x)}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}
Ringraziano: CarFaby, Paolina_1
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