Combinazioni lineari di vettori indipendenti possono essere dipendenti?

Salve, devo dimostrare o confutare la seguente affermazione: se i vettori di uno spazio vettoriale sono linearmente indipendenti, allora la famiglia è linearmente dipendente.

Come si può condurre tale dimostrazione o confutazione?

Grazie e saluti

Ciao GCappellotto47,

in questo genere di esercizi l'approccio migliore consiste nel non farsi alcuna idea preventiva, fare riferimento esclusivamente alle definizioni coinvolte, applicarle e vedere un po' cosa succede.

Noi abbiamo 3 vettori linearmente indipendenti e vogliamo stabilire se i vettori



sono linearmente dipendenti o meno. In particolare, tali vettori sono definiti come combinazioni lineari dei vettori .

Facciamo riferimento alla definizione di dipendenza lineare tra vettori. Consideriamo 3 generici scalari e imponiamo l'uguaglianza vettoriale



In accordo con la definizione di dipendenza/indipendenza lineare:

- se l'unica tripla di coefficienti tali per cui vale è , allora i vettori sono linearmente indipendenti;

- se, oltre alla tripla , esiste anche solo un'altra tripla di coefficienti non tutti nulli per cui vale , allora i vettori sono linearmente dipendenti.

Ok: riscriviamo l'uguaglianza in termini di



Ora facciamo un paio di conticini e cerchiamo di raccogliere i coefficienti in favore di



da cui



Ora notiamo che i sono coefficienti reali. Per l'ipotesi d'indipendenza lineare dei vettori , sappiamo automaticamente che l'unica possibilità per cui valga l'ultima uguaglianza vettoriale scritta è che risulti



e ci troviamo di fronte ad un sistema lineare che possiamo risolvere con il metodo di sostituzione



da cui



In particolare il sistema lineare in esame risulta indeterminato con soluzioni della forma , al variare di (lo spazio delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di di dimensione 1).

Abbiamo così dimostrato che l'uguaglianza vettoriale ammette infinite soluzioni non nulle: tutte quelle della forma al variare di .

Se ad esempio considerassimo quella che si ottiene con , che è , e provassimo a sostituire tali valori dei coefficienti nel membro di sinistra in , troveremmo



da cui



ossia .

In definitiva il sistema di vettori è linearmente dipendente.

Gradirei un ulteriore chiarimento.

Quello che tu affermi è valido in generale oppure solo per questo caso specifico?

Cerco di chiarire, sul libro di testo ho questo teorema che sintetizzo: se è linearmente dipendente allora è linearmente dipendente; se è linearmente indipendente allora è linearmente indipendente.

Nel mio caso ho invece linearmente indipendente/ linearmente dipendente, quindi...

Meglio non sintetizzare: potresti riportare esattamente l'enunciato così come proposto dal tuo testo?

Il problema delle sintesi spesso riguarda il filtro interpretativo interposto dagli studenti, il che non vuole costituire in alcun modo una critica nei tuoi confronti, è solo un dato di fatto...

Il teorema è il seguente:

siano e due famiglie di vettori di tali che sia contenuto in . Allora:

(i) il sottospazio generato da è contenuto in quello generato da .
(ii) Se è linearmente dipendente, allora anche è linearmente dipendente.
(iii) Se è linearmente indipendente allora anche è linearmente indipendente.

Segue la dimostrazione...

Naturalmente vero.

Nota che la proposizione che hai riportato include un'ipotesi da non menzionata in precedenza: .

Nel caso dell'esercizio proposto inizialmente non sussiste alcuna relazione di inclusione tra i due insiemi di vettori.