Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione

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Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79709

avt
evilwillneverdie
Punto
Buonasera, scrivo perché purtroppo sono molto arrugginito e fatico a riprendere confidenza con le regole di base delle equazioni di primo grado.

Nella lezione del link indicate che per risolvere la seguente

(4x+3)-\frac{2}{7}x=\frac{1}{7}(3-x)

sia sufficiente eliminare le parentesi (e fin qui tutto bene) e fare i normali calcoli, e diventa

4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}x

Ora, so che sicuramente sarà una cosa semplice che mi sfugge ma non ne vengo a capo: come fa \frac{1}{7}(3-x) a diventare \frac{3}{7}-\frac{1}{7}x ?

Grazie,
Simone
 
 

Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79710

avt
Omega
Amministratore
Ciao Evilwillneverdie,

il tuo dubbio riguarda il passaggio da

(4x+3)-\frac{2}{7}x=\frac{1}{7}(3-x)

a

4x+3-\frac{2}{7}x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}x

Sul primo membro non credo che ci siano problemi, abbiamo semplicemente eliminato le parentesi. E dato che il segno al di fuori della prima parentesi è positivo, possiamo semplicemente cancellare le parentesi lasciandone il contenuto tale e quale, in accordo con la regola dei segni.

Per quanto riguarda il secondo membro, si tratta di svolgere il prodotto tra il coefficiente \frac{1}{7} ed il binomio (3-x).

A ben vedere si tratta di calcolare il prodotto tra un monomio ed un polinomio, rispettivamente \frac{1}{7} e (3-x).

Per farlo ci serviamo della proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma/sottrazione:

\frac{1}{7}(3-x)=\frac{1}{7}\cdot 3+\frac{1}{7}\cdot (-x)=\bullet

dove \cdot indica l'usuale moltiplicazione. In accordo con le regole per le operazioni con le frazioni

\bullet=\frac{3}{7}-\frac{x}{7}

Nota che nella seconda moltiplicazione ho utilizzato la regola dei segni "+ per - fa -".

Queste considerazioni dovrebbero chiarire il tuo dubbio; se così non fosse rimaniamo a tua disposizione, non devi fare altro che replicare qui di seguito. emt
Ringraziano: CarFaby, evilwillneverdie

Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79711

avt
evilwillneverdie
Punto
Grazie, credo che la risposta sia esaurientissima, mi da le tracce da seguire per ricostruire le nozioni necessarie.

Alla prossima e grazie ancora!

Simone
Ringraziano: Omega

Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79717

avt
Omega
Amministratore
Grazie a te emt

Nel caso avessi qualche dubbio in merito non esitare nel rispondere qui di seguito, mi raccomando!

Buono studio emt

Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79723

avt
evilwillneverdie
Punto
Ecco, io ad esempio \frac{1}{7}(3-x) l'avrei trasformato in \frac{1}{7}\cdot 3+\frac{1}{7}\cdot x e non \cdot (-x), cioè una volta eliminata la parentesi di (3-x) il meno non mi veniva da conservarlo e riflettendoci vedo da solo l'errore, del resto se dentro la parentesi c'è questa sottrazione che non sono in grado di svolgere in quanto l'incognita è ancora tale, devo conservare quest'operazione per dopo (giusto?).

Però comunque avrei fatto  \frac{3}{7}-\frac{1}{7}x. Che immagino sia sbagliatissimo, ma non riesco ad afferrare il perché. emt

Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79744

avt
Omega
Amministratore
Attenzione...

ecco, io ad esempio \frac{1}{7}(3-x) l'avrei trasformato in \frac{1}{7}\cdot 3+\frac{1}{7}\cdot x e non \cdot (-x)

Onde evitare di sbagliare, non guardare alla differenza (3-x) come ad una sottrazione. Considerala piuttosto come la somma tra i termini 3 e (-x).

In parole povere, considera il segno come parte integrante del termine. Così non puoi sbagliare, e infatti in questo modo ti ritroveresti a calcolare il prodotto come

\frac{1}{7}(3-x)=\frac{1}{7}\cdot 3+\frac{1}{7}\cdot (-x)=\frac{3}{7}+\left(-\frac{x}{7}\right)=\frac{3}{7}-\frac{x}{7}

In alternativa, ed è lo stesso, prima di scrivere il secondo prodotto ti limiti a considerare i segni dei fattori \frac{1}{7} e -x. Dunque scrivi il segno risultante (meno) e poi passi a scrivere il prodotto senza segno \frac{x}{7}.

In ogni caso il prodotto tra \frac{1}{7} e -x è -\frac{x}{7}. emt

Però comunque avrei fatto \frac{3}{7}-\frac{1}{7}x

il che è corretto. emt

Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79760

avt
evilwillneverdie
Punto
Porta pazienza, continuo a sbattere nei dettagli.

Esercitandomi sulle equazioni beginner proposte a fondo pagina, all'esercizio

x-2(x+4)=3+3x

il risultato è x=\frac{11}{4}. Ok, lo svolgo:

x-2(x+4)=3+3x

x-2x+-8=3+3x

vado a spostare le "x" a sx:

-3x-x-2x-8=3+3x-3x

-6x-8=3

e mi dà come soluzione x=\frac{11}{6}.

Quindi verifico i singoli passi: quando inserisco nel risolutore i passaggi me li dà come correttamente eseguiti (ogni passo concorda con quanto uscirebbe a me), ma il risultato discorda con quello aspettato, quindi mi concentro sul primo passaggio.

Scopro l'errore: ho rimosso le parentesi troppo presto, infatti rifacendo il secondo passaggio con x-2x+(-8)=3+3x ottengo il risultato corretto.

Ma la regola dei segni con le parentesi non dice semplicemente che si possono togliere e nel caso del +(-) si mantiene il -? perché avrei dovuto mantenere la parentesi più a lungo?

Cosa cambia? emt

Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79763

avt
Galois
Amministratore
Ciao evilwillneverdie emt

Innanzitutto ti faccio osservare che il risultato dell'equazione da te proposta, ossia la numero IV della scheda di esercizi sulle equazioni di primo grado - beginner ha come risultato

x=-\frac{11}{4} \mbox{ e non } x=\frac{11}{4}

Detto questo veniamo al tuo dubbio.

Scopro l'errore: ho rimosso le parentesi troppo presto, infatti rifacendo il secondo passaggio con x-2x+(-8)=3+3x ottengo il risultato corretto

Attenzione! Le parentesi le hai rimosse al momento giusto. emt

L'errore che fai è il seguente. Riporto i tuoi passaggi dal primo all'ultimo commentandoli.

L'equazione da risolvere è la seguente:

x-2(x+4)=3+3x

Hai svolto la moltiplicazione

x-2x+-8=3+3x

ci siamo quasi. Attenzione però che la scrittura +-8 lascia il tempo che trova. Non va bene mettere due segni l'uno accanto all'altro. Vediamo un po'. Il prodotto

-2(x+4)

lo puoi svolgere moltiplicando direttamente -2 (compreso di segno) con i due termini all'interno delle tonde, così da avere

-2(x+4)=-2x-8

oppure tenere da parte il segno meno e moltiplicare 2 con i due termini tra tonde, cioè

-2(x+4)=-(2x+8)=-2x-8

(nell'ultimo passaggio, in virtù della regola dei segni, ho cambiato di segno all'interno della coppia di tonde).

Ad ogni modo credo che la tua sia stata solo una svista. A questo punto siamo arrivati a:

x-2x-8=3+3x

Poi scrivi

vado a spostare le "x" a sinistra:

-3x{\color{red}-x}-2x-8=3+3x-3x

(in rosso ti ho evidenziato l'errore). Quella x sta già a sinistra, quindi non devi cambiare il segno! (È questo l'errore che commetti ora e che non fai quando la svolgi successivamente).

L'espressione corretta è quindi

-3x+x-2x-8=3+3x-3x

da cui

-4x=11 \to x=-\frac{11}{4}

che coincide proprio con il risultato fornito. emt

Permettimi di fare una piccola e personale osservazione: per quella che è la mia esperienza nell'aiutare gli studenti in difficoltà posso dirti che continui a sbagliare perché rifletti troppo dove non dovresti. Continua ad esercitarti e vedrai che questo genere di conti diventerà del tutto automatico. Se ci pensi troppo è la fine e rischi di non uscirne più. emt
Ringraziano: Omega, evilwillneverdie

Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79764

avt
evilwillneverdie
Punto
emt Perdona le sviste (in particolare l'aver lasciato i segni vicini e la mancanza del segno al risultato) mi sa che comunque hai ragione, devo ripetere e cercare di stare sciolto...vediamo se riesco a sopravvivere un paio di gg di esercizi senza postare emt

Grazie!

Dubbio su un passaggio nello svolgimento di un'equazione #79765

avt
Galois
Amministratore
Nessun problema, siamo qui proprio per questo. emt

Ti raccomando di non leggere la mia osservazione come un rimprovero, bensì come un consiglio. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
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