Base della somma di due sottospazi in R^3

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Base della somma di due sottospazi in R^3 #79493

avt
gcappellotto47
Cerchio
Devo determinare una base e la dimensione della somma di due sottospazi di \mathbb{R}^3, uno definito da un sistema di generatori e l'altro da un'equazione cartesiana:

\\ S=\mbox{Span}((1,1,-1), \ (1,2,-2)) \\ \\ T=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ y-z=0 \}

Potreste spiegarmi come procedere mostrandomi tutti i passaggi?
Ringraziano: Giannino
 
 

Base della somma di due sottospazi in R^3 #79495

avt
Galois
Amministratore
Per determinare una base e la dimensione della somma di due sottospazi vettoriali, uno definito mediante un sistema di generatori e l'altro da una o più equazioni cartesiane, conviene procedere nel modo seguente.

1) Ricavare una base per il sottospazio T definito mediante equazioni.

2) Considerare l'unione tra i vettori che generano S e quelli della base di T.

3) Estrarre una base dal precedente insieme, che per com'è stato costruito è un sistema di generatori per S+T.

Ora che abbiamo chiarito cosa dobbiamo fare possiamo procedere con la risoluzione vera e propria dell'esercizio.



Iniziamo dal determinare una base di T procedendo come spiegato nella lezione come ricavare una base dalle equazioni cartesiane di un sottospazio.

T=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ y-z=0\}

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^n \mbox{ con } n=3 definito da una sola equazione cartesiana, pertanto la sua dimensione è 3-1=2.

\mbox{dim}(T)=2

Per determinare una base assegniamo a 2 delle 3 incognite x, \ y, \ z il ruolo di parametro libero. Poniamo

x=a \ \mbox{ e } y=b, \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

Dall'equazione cartesiana che definisce T segue che

z=y=b, \mbox{ con } b \in \mathbb{R}

Il generico elemento (x,y,z) del sottospazio T è, in forma vettoriale

(x,y,z)=(a,b,b)

Per ottenere una base di T basta esprimerlo sotto forma di combinazione lineare rispetto ai parametri a, b

(a,b,b)=a(1,0,0)+b(0,1,1)

Abbiamo così una base del sottospazio T

\mathcal{B}_{T}=\{(1,0,0), \ (0,1,1)\}

Consideriamo ora l'insieme U formato dall'unione dei vettori della base di T con quelli che generano il sottospazio S

U=\{(1,0,0), \ (0,1,1), \ (1,1,-1), \ (1,2,-2)\}

U è un sistema di generatori di S+T, dunque per determinare una base della somma basta estrarre una base dal sistema di generatori scegliendo uno dei metodi riportati nella lezione del link.

Procediamo col metodo dei minori e scriviamo i quattro vettori come colonne di una matrice

M=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -2\end{pmatrix}

La sottomatrice di ordine 3 che si ottiene da M eliminando la quarta colonna ha determinante non nullo.

\mbox{det}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}=-2

Per il calcolo del determinante suggeriamo di procedere con la regola di Laplace sviluppando i calcoli rispetto alla prima colonna, che ha ben due zeri.

I vettori aventi per componenti le colonne della sottomatrice con determinante non nullo formano una base di S+T, che ha dimensione 3.

\mathcal{B}_{S+T} = \{(1,0,0), \ (0,1,1), \ (1,1,-1)\}

Abbiamo finito, ma è bene fare una piccola osservazione:

S+T è un sottospazio di \mathbb{R}^3 di dimensione 3, dunque coincide con \mathbb{R}^3:

S+T=\mathbb{R}^3

Possiamo allora concludere che ogni base di \mathbb{R}^3 è anche una base di S+T (e viceversa).
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby, gcappellotto47
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Os