Verifica identità con coefficiente binomiale

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Verifica identità con coefficiente binomiale #79407

avt
Cerbero
Punto
Salve, avrei bisogno di capire come verificare un'identità con i coefficienti binomiali

n choose5·n-5 choose7 = n choose7·n-7 choose5

Grazie in anticipo!
 
 

Verifica identità con coefficiente binomiale #79410

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Cerbero emt

Dobbiamo verificare che

n choose5·n-5 choose7 = n choose7·n-7 choose5

dove il simbolo

n choosek = (n!)/(k!(n-k)!) qquad (1)

indica quello che prende il nome di coefficiente binomiale, mentre ! indica il fattoriale.

Sviluppiamo i fattori presenti al primo membro:

• , ,n choose5 = (n!)/(5! (n-5)!)

Ho semplicemente utilizzato la definizione (1) sostituendo al posto del k il numero 5.

Mentre

• , ,n-5 choose7 = ((n-5)!)/(7! (n-5-7)!) = ((n-5)!)/(7!(n-12)!)

Occupiamoci dei termini al secondo membro:

• , ,n choose7 = (n!)/(7!(n-7)!)

• , ,n-7 choose5 = ((n-7)!)/(5! (n-12)!)

Ordunque eseguiamo il prodotto al primo membro:

n choose5·n-5 choose7 = (n!)/(5! (n-5)!)·((n-5)!)/(7!(n-12)!)

Eseguiamo le semplificazioni in croce, in particolare (n-5)!, ottenendo:

= (n!)/(5!)·(1)/(7!(n-12)!) = (n!)/(7! 5!(n-12)!)

Se otteniamo lo stesso risultato anche al secondo membro avremo dimostrato l'identità:

n choose7·n-7 choose5 = (n!)/(7!(n-7)!)·((n-7)!)/(5! (n-12)!)

Eseguiamo le dovute semplificazioni a croce.

= (n!)/(7!)·(1)/(5! (n-12)!) = (n!)/(7!·5! (n-12)!)

Poiché il prodotto al primo membro coincide con il prodotto al secondo membro, abbiamo un'identità.

Questo è il metodo concettualmente più semplice che mi sia venuto in mente. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Cerbero

Verifica identità con coefficiente binomiale #79432

avt
Cerbero
Punto
Grazie
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Os