Verifica identità con coefficiente binomiale

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Verifica identità con coefficiente binomiale #79407

avt
Cerbero
Punto
Salve, avrei bisogno di capire come verificare un'identità con i coefficienti binomiali

{{n}\choose{5}}\cdot {{n-5}\choose{7}}={{n}\choose{7}}\cdot {{n-7}\choose{5}}

Grazie in anticipo!
 
 

Verifica identità con coefficiente binomiale #79410

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Cerbero emt

Dobbiamo verificare che

{{n}\choose{5}}\cdot {{n-5}\choose{7}}={{n}\choose{7}}\cdot {{n-7}\choose{5}}

dove il simbolo

{{n}\choose{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\qquad (1)

indica quello che prende il nome di coefficiente binomiale, mentre ! indica il fattoriale.

Sviluppiamo i fattori presenti al primo membro:

\bullet\,\,{{n}\choose{5}}=\frac{n!}{5! (n-5)!}

Ho semplicemente utilizzato la definizione (1) sostituendo al posto del k il numero 5.

Mentre

\bullet\,\,{{n-5}\choose{7}}=\frac{(n-5)!}{7! (n-5-7)!}=\frac{(n-5)!}{7!(n-12)!}

Occupiamoci dei termini al secondo membro:

\bullet\,\,{{n}\choose{7}}=\frac{n!}{7!(n-7)!}

\bullet\,\,{{n-7}\choose{5}}=\frac{(n-7)!}{5! (n-12)!}

Ordunque eseguiamo il prodotto al primo membro:

{{n}\choose{5}}\cdot {{n-5}\choose{7}}=\frac{n!}{5! (n-5)!}\cdot\frac{(n-5)!}{7!(n-12)!}

Eseguiamo le semplificazioni in croce, in particolare (n-5)!, ottenendo:

=\frac{n!}{5! }\cdot\frac{1}{7!(n-12)!}=\frac{n!}{7! 5!(n-12)! }

Se otteniamo lo stesso risultato anche al secondo membro avremo dimostrato l'identità:

{{n}\choose{7}}\cdot {{n-7}\choose{5}}=\frac{n!}{7!(n-7)!}\cdot \frac{(n-7)!}{5! (n-12)!}

Eseguiamo le dovute semplificazioni a croce.

=\frac{n!}{7!}\cdot \frac{1}{5! (n-12)!}=\frac{n!}{7!\cdot 5! (n-12)!}

Poiché il prodotto al primo membro coincide con il prodotto al secondo membro, abbiamo un'identità.

Questo è il metodo concettualmente più semplice che mi sia venuto in mente. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, Cerbero

Verifica identità con coefficiente binomiale #79432

avt
Cerbero
Punto
Grazie
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Os