Calcolo di una serie convergente

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Calcolo di una serie convergente #79214

avt
claudio0
Punto
Ciao! Vorrei capire come calcolare la somma della serie seguente

\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{k}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}

Potreste illustrarmi i passaggi?
Grazie mille!
 
 

Calcolo di una serie convergente #79218

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Claudio0 emt

Quello che dobbiamo fare è trovare la somma della serie

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}

Come si fa? Ci viene in soccorso quello che prende il nome altisonante di teorema di derivazione per le serie di potenze.

Osserva infatti che

La serie data è sostanzialmente la serie di potenze

\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k}{6}t^{k-1}\mbox{ per }t=\frac{5}{6}

che possiamo rivedere anche come:

\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{\infty}k t^{k-1}

osserva infatti che il fattore \frac{1}{6} non dipende dall'indice della serie e pertanto può essere trasportato fuori dal simbolo di sommatoria.

Se osservi bene il termine generale della serie di potenze, ossia k t^{k-1} è in realtà la derivata rispetto a t di t^{k}, infatti:

D[t^{k}]=k t^{k-1}\quad\forall k\in\mathbb{N}

Dunque possiamo asserire che:

\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k t^{k-1}=D\left[\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}t^{k}\right]

Se conoscessimo la somma della serie \sum_{k=0}^{\infty}t^{k} saremmo a cavallo!

A pensarci bene, questa non è altro che una serie geometrica di ragione t di cui conosciamo la somma:

\sum_{k=0}^{\infty}t^{k}= \frac{1}{1-t}\quad\forall t\in (-1,1)

Moltiplicando membro a membro per \frac{1}{6} otterremmo:

\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}t^{k}=\frac{1}{6(1-t)}\quad\forall t\in (-1,1)

Sostituiamo nell'uguaglianza

\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k t^{k-1}=D\left[\overbrace{\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}t^{k}}^{=\frac{1}{6(1-t)}}\right]\quad\forall t\in (-1,1)

di conseguenza possiamo concludere che

\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k t^{k-1}= D\left[\frac{1}{6(1-t)}\right]\quad\forall t\in (-1,1)

Calcoliamo la derivata della funzione:

D\left[\frac{1}{6(1-t)}\right]=\frac{1}{6}D[(1-t)^{-1}]= -\frac{1}{6}\cdot (1-t)^{-2}\cdot (-1)=

= \frac{1}{6(1-t)^2}

Ora abbiamo praticamente finito infatti

\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k t^{k-1}=\frac{1}{6(1-t)^2}\quad\forall t\in (-1,1)

Ora per ottenere la somma che ci interessa è sufficiente sostituire \frac{5}{6} ad ogni occorrenza di t e questo è possibile perché \frac{5}{6}\in (-1,1)

\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k \left(\frac{5}{7}\right)^{k-1}=\frac{1}{6(1-\frac{5}{6})^2}

Porta a termine i conti così da ottenere che:

\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k \left(\frac{5}{7}\right)^{k-1}=\frac{1}{6(1-\frac{5}{6})^2}=6.

__________________

Nota a margine:

\sum_{k=0}^{\infty}k t^{k-1}=\sum_{k=1}^{\infty}k t^{k-1}

Osserva infatti che per k=0 l'addendo k t^{k-1}=0, ergo, se facciamo partire la serie da zero o da uno non cambia né il carattere né la sua somma.
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, claudio0

Calcolo di una serie convergente #79219

avt
claudio0
Punto
Sei stato molto esaustivo ti ringrazio emt
Ringraziano: Ifrit
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Os