Svolgimento limite da destra e da sinistra

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Svolgimento limite da destra e da sinistra #78821

avt
Paolina_1
Punto
Ciao, approfitto della vostra disponibilità per la risoluzione di un limite da destra e da sinistra, nei due intervalli

lim_(x → 0)[1+e^((1)/(x^4))]^(-1)

Il risultato dovrebbe essere 0 nei due intervalli, però vorrei una spiegazione sulla svolgimento passo-passo.

Ciao e grazie!
 
 

Svolgimento limite da destra e da sinistra #78827

avt
Galois
Amministratore
Vediamo come procedere per il calcolo del seguente limite:

lim_(x → 0)[1+e^((1)/(x^4))]^(-1)

Poiché la funzione

y = [1+e^((1)/(x^4))]^(-1)

ha come dominio R-0 analizzeremo i due limiti

1) lim_(x → 0^+)[1+e^((1)/(x^4))]^(-1) ; 2) lim_(x → 0^-)[1+e^((1)/(x^4))]^(-1)

Partiamo dal primo.

1) lim_(x → 0^+)[1+e^((1)/(x^4))]^(-1)

Innanzitutto, per come sono definite le potenze con esponente negativo

[1+e^((1)/(x^4))]^(-1) = (1)/(1+e^((1)/(x^4)))

Pertanto possiamo riscrivere il limite come

lim_(x → 0^+)(1)/(1+e^((1)/(x^4))) = (•)

A questo punto basta un po' d'occhio per concludere immediatamente che il limite in questione è zero. A denominatore abbiamo infatti

1+e^((1)/(x^4))

che tende a +∞ per x che tende a zero sia da destra che da sinistra. Ci riconduciamo così alla forma

(•) = [(1)/(+∞)] = 0^+

in virtù dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

Concludiamo pertanto che il limite è 0

lim_(x → 0^+)[1+e^((1)/(x^4))]^(-1) = lim_(x → 0^-)[1+e^((1)/(x^4))]^(-1) = 0

Metodo alternativo

Un procedimento alternativo che conduce allo stesso risultato consiste nell'uso di una sostituzione.

Consideriamo il limite destro

lim_(x → 0^+)(1)/(1+e^((1)/(x^4))) =

poniamo (1)/(x^4) = t e osserviamo che per x che tende a zero da destra, la variabile t tende a più infinito. Grazie alla sostituzione il limite diventa

= lim_(t → +∞)(1)/(1+e^t) = 0

ed è nullo in quanto la funzione esponenziale

y = e^t

tende a più infinito per t che tende a più infinito. Per x che tende a zero da sinistra, il procedimento è identico

2) lim_(x → 0^-)[1+e^((1)/(x^4))]^(-1) =

infatti una volta riscritto il limite come

= lim_(x → 0^-)(1)/(1+e^((1)/(x^4)))

e ponendo

t = (1)/(x^4)

si ha che quando x che tende a zero da sinistra il termine t tende a più infinito.

In altri termini, il limite si riconduce ancora una volta al limite

lim_(t → +∞)(1)/(1+e^t) = 0

che abbiamo visto essere zero.
Ringraziano: CarFaby
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