Svolgimento limite da destra e da sinistra

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Svolgimento limite da destra e da sinistra #78821

avt
Paolina_1
Punto
Ciao, approfitto della vostra disponibilità per la risoluzione di un limite da destra e da sinistra, nei due intervalli

\lim_{x\to 0}{\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}}

Il risultato dovrebbe essere 0 nei due intervalli, però vorrei una spiegazione sulla svolgimento passo-passo.

Ciao e grazie!
 
 

Svolgimento limite da destra e da sinistra #78827

avt
Galois
Amministratore
Vediamo come procedere per il calcolo del seguente limite:

\lim_{x\to 0}{\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}}

Poiché la funzione

y=\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}

ha come dominio \mathbb{R}-\{0\} analizzeremo i due limiti

\\ 1) \ \lim_{x\to 0^+}{\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}} \\ \\ \\  2) \ \lim_{x\to 0^-}{\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}}

Partiamo dal primo.

1) \ \lim_{x\to 0^+}{\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}}

Innanzitutto, per come sono definite le potenze con esponente negativo

\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}=\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x^4}}}

Pertanto possiamo riscrivere il limite come

\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x^4}}}}=(\bullet)

A questo punto basta un po' d'occhio per concludere immediatamente che il limite in questione è zero. A denominatore abbiamo infatti

1+e^{\frac{1}{x^4}}

che tende a +\infty per x che tende a zero sia da destra che da sinistra. Ci riconduciamo così alla forma

(\bullet)=\left[\frac{1}{+\infty}\right]=0^+

in virtù dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi

Concludiamo pertanto che il limite è 0

\lim_{x\to 0^+}{\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}} = \lim_{x\to 0^-}{\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}}=0

Metodo alternativo

Un procedimento alternativo che conduce allo stesso risultato consiste nell'uso di una sostituzione.

Consideriamo il limite destro

\lim_{x\to 0^+}{\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x^4}}}}=

poniamo \frac{1}{x^4}=t e osserviamo che per x che tende a zero da destra, la variabile t tende a più infinito. Grazie alla sostituzione il limite diventa

=\lim_{t\to +\infty}{\frac{1}{1+e^t}}=0

ed è nullo in quanto la funzione esponenziale

y=e^t

tende a più infinito per t che tende a più infinito. Per x che tende a zero da sinistra, il procedimento è identico

2) \ \lim_{x\to 0^-}{\left[1+e^{\frac{1}{x^4}}\right]^{-1}}=

infatti una volta riscritto il limite come

=\lim_{x\to 0^-}{\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x^4}}}}

e ponendo

t=\frac{1}{x^4}

si ha che quando x che tende a zero da sinistra il termine t tende a più infinito.

In altri termini, il limite si riconduce ancora una volta al limite

\lim_{t\to +\infty}{\frac{1}{1+e^t}}=0

che abbiamo visto essere zero.
Ringraziano: CarFaby
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