Immagine di un vettore e matrice con basi non canoniche

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Immagine di un vettore e matrice con basi non canoniche #78728

avt
gcappellotto47
Cerchio
Salve, ho questo esercizio sull'immagine di un vettore mediante una matrice riferita a basi non canoniche di R^2 ed R^3, che non riesco a risolvere in modo adeguato.

Sia L:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3 l'applicazione lineare associata alla matrice

A=\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 3\\1 & 1 \end{matrix}\right]

rispetto alle basi B=\{(1,0),(1,1)\}, B'=\{(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)\}.

Calcolare L(1,1).

Grazie e saluti
 
 

Immagine di un vettore e matrice con basi non canoniche #78734

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao gcappellotto47 emt

Abbiamo l'applicazione lineare

L:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3

associata alla matrice

M=\begin{pmatrix}0&1\\ 2&3\\ 1& 1\end{pmatrix}

espressa rispetto alle basi:

\mathcal{B}=\{(1,0), (1,1)\}

\mathcal{B}'=\{(0,1,1),(1,0,1), (1,1,1)\}.

M prende il nome di matrice associata all'applicazione lineare L rispetto alle basi \mathcal{B}, \mathcal{B}'
Il nostro obiettivo è determinare L(1,1), ossia l'immagine del vettore (1,1) tramite l'applicazione lineare L.

Prima di partire a razzo con la risoluzione dell'esercizio vorrei che fosse chiaro che:

Le applicazioni lineari operano sui vettori di uno spazio vettoriale

Le matrici invece lavorano sulle coordinate di un vettore espresso nella base fissata.


Dal testo appare chiaro che (1,1) è un vettore espresso nella base canonica.

Ora \mathbf{v}=(1,1) è un vettore di \mathbb{R}^2, su cui agisce l'applicazione lineare L. Per determinarne l'immagine utilizzando la matrice M dovrai prima di tutto determinare le coordinate del vettore \mathbf{v} rispetto alla base \mathcal{B}, dovrai cioè determinare il vettore di coordinate \mbox{coord}_{B}(\mathbf{v})= \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} tale che:

a (1,0)+b(1,1)= (1,1)\implies \begin{cases}a+b=1\\ b=1\end{cases}

Da cui si evince che:

a=0, b=1

Il vettore delle coordinate di \mathbf{v} espresso rispetto alla base \mathcal{B} è dunque:

\mbox{coord}_{B}(\mathbf{v})=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}

Calcoliamo il prodotto matrice vettore:

M\cdot\mbox{coord}_{B}(\mathbf{v})=\begin{pmatrix}0&1\\ 2&3\\ 1& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}

Quello ottenuto rappresenta il vettore delle coordinate di L(1,1) relative alla base \mathcal{B}'. Per trovare effettivamente L(1,1), e non le sue coordinate, dovremo effettuare un ultimo passaggio:

L(1,1)=\alpha (0,1,1)+\beta (1, 0,1)+\gamma (1,1,1)

dove \alpha=1,\,\beta=3,\,\,\gamma=1, conseguentemente l'immagine di (1,1) tramite L è

L(1,1)=1 (0,1,1)+3 (1, 0,1)+1 (1,1,1)=(4,2,5).

È tutto. emt
Ringraziano: Galois, CarFaby, gcappellotto47
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Os