Studiare una serie a segni alterni

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Studiare una serie a segni alterni #78701

avt
ferdcip
Punto
Ciao, devo stabilire se la seguente serie a segni alterni converge:

\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{n^\frac{3}{2}}{n^2+2}

Grazie in anticipo
 
 

Studiare una serie a segni alterni #78711

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao ferdcip emt

Quella che proponi è una serie numerica a segni alterni il cui carattere può essere determinato tramite il criterio di Leibniz. Procediamo con ordine:

Abbiamo la serie:

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2}

Controlliamo che la condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza della serie sia soddisfatta, ossia dobbiamo assicurarci che il limite del termine generale della serie sia 0:

\lim_{n\to \infty}(-1)^{n}\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2}=0

Possiamo utilizzare il corollario del teorema del confronto per le successioni. Nota infatti che la successione (-1)^n \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2} è il prodotto di due successioni:

\bullet\,\,(-1)^{n}: è una successione limitata infatti dalle costanti -1 e 1:

-1\le (-1)^{n}\le 1\quad\forall n\in\mathbb{N}

\bullet\,\, \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2} è una successione infinitesima, infatti

\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2}=\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2}=

Poiché n^2+2\sim_{+\infty}n^2, ossia n^2+2 è asintoticamente equivalente a n^2 il limite si riscrive come

\lim_{n\to \infty}\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2}= \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^{2-\frac{3}{2}}}=

=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}= 0

Il termine generale della serie è il prodotto tra una successione limitata per una infinitesima e in quanto tale è infinitesimo. La condizione di convergenza di Cauchy è soddisfatta. emt

Attenzione, possiamo solo dire che la serie può convergere, non ne abbiamo la certezza.

Vediamo a questo punto se la serie rispetta le pretese del criterio di Leibniz, dovremo quindi verificare che la successione a_n=\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2}

1. è positiva;
2. (definitivamente) decrescente;
3. infinitesima.

Positività della successione a_n:

La successione a_n=\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2} è positiva per ogni n\in\mathbb{N} perché quoziente di quantità positive.

La successione è definitivamente decrescente

La successione a_n= \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2} è una successione decrescente definitivamente, per dimostrarlo useremo il metodo della funzione a variabile continua associata.

Consideriamo la funzione

f(x)=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^2+2}

essa è tale che a_n= f(n)\quad\forall n\in\mathbb{N}. Se la funzione f è decrescente allora lo sarà anche la successione a_n.

Studiamo quindi la monotonia della funzione f(x), la derivata prima della quale è

f'(x)= \frac{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} (x^2+2)- x^{\frac{3}{2}}\cdot 2x}{(x^2+2)^2}=

= \frac{\sqrt{x}(6-x^2)}{2(2+x^2)^2}

Studiamo il segno della derivata prima:

\bullet\,\, \sqrt{x}> 0\iff x> 0

\bullet\,\, 6-x^2> 0\iff -\sqrt{6}< x< \sqrt{6}

\bullet\,\, (2+x^2)^2>0\iff \forall x\in\mathbb{R}

Costruendo la tabella dei segni otterrai che la derivata prima della funzione f è:

\bullet\,\,\mbox{Strettamente crescente per }0<x<\sqrt{6}

\bullet\,\,\mbox{Strettamente decrescente per } x>\sqrt{6}\simeq 2.45

Questo implica che la successione a_n= \frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2} è strettamente decrescente per n\ge 3, o detta in altri termini, essa è definitivamente decrescente.

La successione è infinitesima

Abbiamo infatti visto che \lim_{n\to \infty}\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2}=0

La serie

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{\frac{3}{2}}}{n^2+2}

rispetta tutte le pretese del teorema di Leibniz, dunque converge. emt
Ringraziano: Omega, Galois, CarFaby, ferdcip
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