Metodo del nucleo risolvente per equazione differenziale

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Metodo del nucleo risolvente per equazione differenziale #78700

avt
ferdcip
Punto
Avrei bisogno di aiuto per risolvere un problema di Cauchy con il metodo del nucleo risolvente:

\begin{cases}y''+4y=\sin(2x) \\ y(0)=0 \\ y'(0)=1\end{cases}
 
 

Metodo del nucleo risolvente per equazione differenziale #78715

avt
Galois
Amministratore
Ciao ferdcip emt

Abbiamo il seguente PdC

\begin{cases}y''+4y=\sin(2x) \\ y(0)=0 \\ y'(0)=1\end{cases}

che dobbiamo risolvere applicando il metodo del nucleo risolvente. Iniziamo dal risolvere l'equazione differenziale del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti

y''+4y=0

Il polinomio caratteristico ad essa associato è

P(\lambda)=\lambda^2 + 4

Troviamone gli zeri che si ottengono risolvendo l'equazione di secondo grado

\lambda^2 + 4=0

che ha come soluzioni

\lambda_1=2i, \ \lambda_2=-2i

Ovvero abbiamo due soluzioni complesse della forma

\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta

con \alpha=0 \mbox{ e } \beta=2

Di conseguenza l'integrale generale dell'omogenea sarà

y_O(x)=c_1e^{\alpha x}\cos(\beta x)+c_2e^{\alpha x}\sin(\beta x), \mbox{ con } \alpha=0 \mbox{ e } \beta=2

ossia

y_O(x)=c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)

Passiamo ora a trovare una soluzione particolare, che indicherò con \bar{y}(x) della non omogenea.

Personalmente, visto che il termine noto f(x)=\sin(2x) della nostra equazione differenziale di partenza è di tipo particolare, ritengo che sarebbe stato molto più semplice procedere con il metodo di somiglianza. Visto però che il testo dell'esercizio richiede espressamente di utilizzare il metodo del nucleo risolvente procediamo con esso.

Vediamo innanzitutto come si applica tale metodo

Metodo del nucleo risolvente per edo del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti

Data una generica equazione differenziale non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti avente come termine noto f(x) sappiamo che l'integrale generale dell'omogenea ad essa associata sarà della forma

y_O(x)=c_1 y_1(x) + c_2 y_2 (x)

Il metodo del nucleo risolvente ci dice che una soluzione particolare della non omogenea è data da

\bar{y}(t)\int_{x_0}^{x}{\left(K(x,p)\cdot f(p)\right)dp}

Dove:

x_0 è un generico punto (che scegliamo noi) appartenente al dominio della nostra equazione differenziale. Ovviamente sceglieremo il più semplice possibile.

f(p) è il termine noto dell'equazione differenziale dove, semplicemente, si sostituisce la variabile x con la variabile p

K(x,p) è quello che si dice nucleo risolvente ed è dato da:

K(x,p)=\frac{\mbox{det}\left[\begin{matrix} y_1(p) & y_2(p) \\ y_1(x) & y_2(x) \end{matrix}\right]}{\mbox{det}\left[\begin{matrix} y_1(p) & y_2(p) \\ y_1'(p) & y_2'(p) \end{matrix}\right]}

ossia è il rapporto tra due determinanti.

------------

Questa la teoria. Applichiamo quanto detto alla nostra equazione differenziale

y''+4y=\sin(2x)

il cui termine noto è

f(x)=\sin(2x) \mbox{ da cui } f(p)=\sin(2p)

Abbiamo già trovato l'integrale generale dell'omogenea associata

y_O(x)=c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)

ossia si ha

y_1(x)=\cos(2x) \to y_1(p)=\cos(2p) \to y_1'(p)=-2\sin(2p)

y_2(x)=\sin(2x) \to y_2(p)=\sin(2p) \to y_2'(p)=2\cos(2p)

Pertanto il nucleo risolvente è dato da

K(x,p)=\frac{\mbox{det}\left[\begin{matrix} y_1(p) & y_2(p) \\ y_1(x) & y_2(x) \end{matrix}\right]}{\mbox{det}\left[\begin{matrix} y_1(p) & y_2(p) \\ y_1'(p) & y_2'(p) \end{matrix}\right]}=\frac{\mbox{det}\left[\begin{matrix} \cos(2p) & \sin(2p) \\ \cos(2x) & \sin(2x) \end{matrix}\right]}{\mbox{det}\left[\begin{matrix} \cos(2p) & \sin(2p) \\ -2\sin(2p) & 2\cos(2p) \end{matrix}\right]}

Ricordando come si calcola il determinante di una matrice abbiamo

\mbox{det}\left[\begin{matrix} \cos(2p) & \sin(2p) \\ \cos(2x) & \sin(2x) \end{matrix}\right]=\cos(2p)\sin(2x)-\cos(2x)\sin(2p)

\mbox{det}\left[\begin{matrix} \cos(2p) & \sin(2p) \\ -2\sin(2p) & 2\cos(2p) \end{matrix}\right]=2\cos^2(2p)+2\sin^2(2x)=2[\cos^2(2p)+\sin^2(2p)]=2

Ricordiamo infatti che, per la relazione fondamentale della trigonometria

\cos^2(2p)+\sin^2(2p)=1

Il nostro nucleo risolvente è quindi

K(x,p)=\frac{\cos(2p)\sin(2x)-\cos(2x)\sin(2p)}{2}=\frac{1}{2}[\cos(2p)\sin(2x)-\cos(2x)\sin(2p)]

Di conseguenza la soluzione particolare è data da

\bar{y}(t)=\int_{x_0}^{x}{\left(K(x,p)\cdot f(p)\right)dp}=

=\int_{x_0}^{x}{\left\{\left[\frac{1}{2}[\cos(2p)\sin(2x)-\cos(2x)\sin(2p)]\right]\cdot \sin(2p)\right\}dp}

Scegliamo x_0=0 che appartiene al dominio dell'equazione differenziale data e svolgiamo il prodotto. Sfruttando poi l'additività e la linearità dell'integrale abbiamo

\bar{y}(x)=\underbrace{\frac{1}{2}\sin(2x)\int_{0}^{x}[\cos(2p)\sin(2p)]dp}_{(\bullet)}-\underbrace{\frac{1}{2}\cos(2x)\int_{0}^{x}[\sin^2(2p)]dp}_{(\bullet \bullet)}

Armiamoci ora di tanta pazienza e buona volontà e procediamo con il calcolo dei due integrali.

\int_{0}^{x}[\cos(2p)\sin(2p)]dp

Procediamo con il metodo di sostituzione per gli integrali ponendo

\sin(2p)=t

da cui

2cos(2p) dp = dt

Inoltre per

p=0, \ t=0 \mbox{ e per } p=x, \ t=\sin(2x)

Allora

\int_{0}^{x}[\cos(2p)\sin(2p)]dp=\frac{1}{2}\int_{0}^{x}[2\cos(2p)\sin(2p)]dp=\frac{1}{2}\int_{0}^{\sin(2x)}[t]dt

Ci siamo così ricondotti al calcolo di un integrale fondamentale

=\frac{1}{2}\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{\sin(2x)}=\frac{1}{4}\sin^2(2x)

Ossia

\int_{0}^{x}[\cos(2p)\sin(2p)]dp=\frac{1}{4}\sin^2(2x)

Allora il primo pezzo della soluzione particolare, quello che abbiamo indicato con (\bullet) è:

\frac{1}{2}\sin(2x)\int_{0}^{x}[\cos(2p)\sin(2p)]dp=\frac{1}{2}\sin(2x) \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2x)=\frac{1}{8}\sin^3(2x)

Passiamo ora al calcolo del seguente integrale

\int_{0}^{x}[\sin^2(2p)]dp

Poniamo 2p=t, da cui

2dp=dt \mbox{ ossia } dp=\frac{1}{2}t

Sostituendo nell'integrale di partenza avremo

\int_{0}^{x}[\sin^2(2p)]dp=\frac{1}{2}\int_{0}^{2x}[\sin^2(t)]dt

Ricordando che l'integrale del seno al quadrato - (click per i due metodi di calcolo) è dato da

\int\left[\sin^2(t)\right]dt = \frac{t}{2}-\frac{1}{2}\sin(t)\cos(t)+c

Abbiamo che

\frac{1}{2}\int_{0}^{2x}[\sin^2(t)]dt=\frac{1}{2}\left[\frac{2x}{2}-\frac{1}{2}\sin(2x)\cos(2x)\right]=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)\cos(2x)

Ossia

\int_{0}^{x}[\sin^2(2p)]dp=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)\cos(2x)

Ne segue che il secondo pezzo della soluzione particolare, quello che abbiamo indicato con (\bullet \bullet) sarà

\frac{1}{2}\cos(2x)\int_{0}^{x}[\sin^2(2p)]dp=\frac{1}{2}\cos(2x)\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)\cos(2x)\right]=\frac{1}{4}x\cos(2x)-\frac{1}{8}\sin(2x)\cos^2(2x)

Possiamo quindi concludere che

\bar{y}(x)=\frac{1}{2}\sin(2x)\int_{0}^{x}[\cos(2p)\sin(2p)]dp-\frac{1}{2}\cos(2x)\int_{0}^{x}[\sin^2(2p)]dp=

=\frac{1}{8}\sin^3(2x)-\frac{1}{4}x\cos(2x)+\frac{1}{8}\sin(2x)\cos^2(2x)

Per facilitare i conti che verranno osserviamo che

\frac{1}{8}\sin^3(2x)+\frac{1}{8}\sin(2x)\cos^2(2x)=

(effettuando un raccoglimento totale e ricordando nuovamente la relazione fondamentale della trigonometria)

=\frac{1}{8}\sin(2x)\left[\sin^2(2x)+\cos^2(2x)\right]=\frac{1}{8}\sin(2x)

Morale della favola

\bar{y}(x)=\frac{1}{8}\sin(2x)-\frac{1}{4}x\cos(2x)

L'integrale generale dell'equazione differenziale di partenza è quindi

y(x)=y_O(x)+\bar{y}(x)=c_1\cos(2x)+c_2\sin(2x)+\frac{1}{8}\sin(2x)-\frac{1}{4}x\cos(2x)

che possiamo riscrivere come

y(x)=\left(c_1-\frac{1}{4}x\right)\cos(2x)+\left(c_2+\frac{1}{8}\right)\sin(2x)

Calcoliamo ora la derivata prima. Applicando le regole di derivazione e ricordando le derivate fondamentali otteniamo

y'(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)-2\left(c_1-\frac{1}{4}x\right)\sin(2x)+2\left(c_2+\frac{1}{8}\right)\cos(2x)

Imponiamo le condizioni iniziali. Da y(0)=0 si ottiene

0=c_1\cos(0)+\left(c_2+\frac{1}{8}\right)\sin(0)=c_1

ossia c_1=0. Da y'(0)=1 abbiamo invece

1=-\frac{1}{4}\cos(0)-2\left(c_1-\frac{1}{4}\right)\sin(0)+2\left(c_2+\frac{1}{8}\right)\cos(0)

1=-\frac{1}{4}+2c_2+\frac{1}{4} \iff c_2=\frac{1}{2}

Abbiamo finito! La soluzione del Problema di Cauchy di partenza è

y(x)=-\frac{1}{4}x\cos(2x)+\frac{5}{8}\sin(2x)

emt
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby, ferdcip, castro87
  • Pagina:
  • 1
Os