Limite in due variabili con parametro

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Limite in due variabili con parametro #78682

avt
ferdcip
Punto
Ciao, ho il seguente limite in due variabili con un parametro e non riesco a risolverlo:

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^3 y^{2\lambda} )}{x^{3\lambda} + y^{3\lambda}}

Grazie mille
 
 

Limite in due variabili con parametro #78688

avt
Omega
Amministratore
Premetto che ti auguro vivamente di non dover affrontare un esercizio del genere in sede d'esame. Non tanto per questioni di difficoltà, quanto più per il modo in cui viene proposta la traccia.

Mi spiego: se considerassimo valori razionali del parametro ed in particolare frazioni ridotte ai minimi termini con denominatore pari, la funzione

f(x,y)=\frac{\sin(x^3 y^{2\lambda} )}{x^{3\lambda} + y^{3\lambda}}

avrebbe dominio dato da \{x>0,\ y>0\}.

Quindi, volendo calcolare il limite in due variabili al variare del parametro \lambda\in\mathbb{R}, l'unica cosa sensata da fare consiste nel considerare la restrizione della funzione sul primo quadrante

f:[0,+\infty]\times [0,+\infty]\to\mathbb{R}

e nella pratica limitarci a considerare le direzioni del primo quadrante quando (x,y)\to(0,0).

Con questa non indifferente premessa, procediamo

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^3 y^{2\lambda} )}{x^{3\lambda} + y^{3\lambda}}

Consideriamo il caso \lambda>0 e fissiamoci su una particolare direzione, y=x, che useremo per distinguere tra vari sottocasi.

\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x^{3+2\lambda})}{2x^{3\lambda}}

Dato che l'argomento del seno tende a zero per ogni valore di \lambda>0, possiamo sfruttare l'equivalenza asintotica derivante dal limite notevole del seno

\sin(x^{3+2\lambda})\sim_{x\to 0}x^{3+2\lambda}

e passare a calcolare il limite equivalente

\lim_{x\to 0} \frac{x^{3+2\lambda}}{2x^{3\lambda}}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}x^{3-\lambda}

Ora ci troviamo di fronte ad un limite molto semplice da studiare

\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}x^{3-\lambda}=\begin{cases}0\mbox{ se }3-\lambda>0\mbox{ ossia }0<\lambda<3\\ \frac{1}{2}\mbox{ se }3-\lambda=0\mbox{ ossia }\lambda=3\\ \infty\mbox{ se }3-\lambda<0\mbox{ ossia }\lambda>3\end{cases}

Capito il ragionamento? emt Ci siamo focalizzati sul caso \lambda>0 e sulla direzione y=x per individuare i principali sottocasi su cui protrarre l'analisi.

Intanto possiamo già concludere che se \lambda>3 il limite di partenza non esiste finito, perché c'è una direzione (ne basta una) lungo la quale la funzione diverge all'infinito.


Nei casi \lambda=3,\ 0<\lambda<3 riprendiamo l'analisi del limite in due variabili.


Se \lambda=3 il limite originario si riduce a

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^3 y^{6} )}{x^{9} + y^{9}}

e sappiamo già che lungo la direzione y=x il limite vale \frac{1}{2}. Consideriamo come seconda direzione y=x^2

\lim_{x\to0} \frac{\sin(x^3 x^{12} )}{x^9+x^{18}}

Applichiamo l'equivalenza asintotica del limite notevole del seno

\lim_{x\to0} \frac{x^{15}}{x^9+x^{18}}

e a denominatore limitiamoci a considerare l'infinitesimo di ordine inferiore, vale a dire quello principale

\lim_{x\to0} \frac{x^{15}}{x^9}=0

Abbiamo trovato due direzioni lungo le quali il limite assume valori distinti, dunque concludiamo che per \lambda=3 il limite non esiste.


Passiamo al caso 0<\lambda<3.

Qui conviene passare in coordinate polari:

\lim_{r\to 0} \frac{\sin(r^3\cos^3(\theta)r^{2\lambda}\sin^{2\lambda}(\theta))}{r^{3\lambda}\cos^{3\lambda}(\theta)+r^{3\lambda}\sin^{3\lambda}(\theta)}

Riscriviamolo in una forma più decorosa

\lim_{r\to 0} \frac{\sin(r^{3+2\lambda}\cos^3(\theta)\sin^{2\lambda}(\theta))}{r^{3\lambda}[\cos^{3\lambda}(\theta)+\sin^{3\lambda}(\theta)]}

è evidente che l'argomento del seno tende a zero, quindi applichiamo l'equivalenza asintotica e passiamo a

\lim_{r\to 0} \frac{r^{3+2\lambda}\cos^3(\theta)\sin^{2\lambda}(\theta)}{r^{3\lambda}[\cos^{3\lambda}(\theta)+\sin^{3\lambda}(\theta)]}

ossia

\lim_{r\to 0} \frac{r^{3+2\lambda-3\lambda}\cos^3(\theta)\sin^{2\lambda}(\theta)}{\cos^{3\lambda}(\theta)+\sin^{3\lambda}(\theta)}

\lim_{r\to 0} r^{3-\lambda}\frac{\cos^3(\theta)\sin^{2\lambda}(\theta)}{\cos^{3\lambda}(\theta)+\sin^{3\lambda}(\theta)}

Ora guarda bene il secondo fattore (il rapporto trigonometrico). Quale che sia il valore di \theta\in \left[0,\frac{\pi}{2}\right], in accordo con la premessa iniziale, esso non potrà mai annullarsi. In particolare il rapporto trigonometrico equivarrà sempre e comunque ad una costante finita, mentre il fattore r^{3-\lambda} genera un infinitesimo al tendere di r\to 0 (perché nella nostra ipotesi 0<\lambda<3).

Conclusione: per 0<\lambda<3 il limite in due variabili esiste e vale zero.


Ora procediamo con gli altri casi? emt


Prendiamo \lambda=0 e riscriviamo il limite originario

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^3)}{1+1}=0

banaluccio...


Infine, consideriamo il caso \lambda<0.

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^3 y^{2\lambda} )}{x^{3\lambda} + y^{3\lambda}}

Qui cercheremo di dimostrare che il limite esiste con un'opportuna maggiorazione. Consideriamo il modulo della funzione

\left|\frac{\sin(x^3 y^{2\lambda} )}{x^{3\lambda} + y^{3\lambda}}\right|

o equivalentemente, grazie alle proprietà del valore assoluto

\frac{|\sin(x^3 y^{2\lambda})|}{|x^{3\lambda} + y^{3\lambda}|}

Nella nostra ipotesi l'argomento del modulo presente a denominatore è sempre una quantità non negativa, sicché il valore assoluto è superfluo

\frac{|\sin(x^3 y^{2\lambda})|}{x^{3\lambda} + y^{3\lambda}}

Dato che la funzione seno è una funzione limitata tra -1 ed 1, possiamo scrivere

0\leq \frac{|\sin(x^3 y^{2\lambda})|}{x^{3\lambda} + y^{3\lambda}}\leq \frac{1}{x^{3\lambda}+y^{3\lambda}}

Ok: se dimostriamo che il seguente limite vale zero

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{x^{3\lambda}+y^{3\lambda}}\ \ \ \mbox{con}\ \lambda<0

allora sapremo per confronto che il limite originario esiste e vale zero per \lambda<0.

Rimaneggiamolo un pochettino:

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{x^{3\lambda}+y^{3\lambda}}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{\frac{1}{x^{-3\lambda}}+\frac{1}{y^{-3\lambda}}}

e per comodità poniamo w:=-3\lambda, cosicché w>0

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{\frac{1}{x^{w}}+\frac{1}{y^{w}}}

Un paio di passaggi algebrici

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{\frac{x^w+y^w}{x^{w}y^{w}}}

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^wy^w}{x^w+y^w}

Questo limite esiste? E se sì, quanto vale? Per scoprirlo passiamo ancora una volta in coordinate polari

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{r^w\cos^w(\theta)r^w\sin^w(\theta)}{r^w\cos^w(\theta)+r^w\sin^w(\theta)}

ossia

\lim_{(x,y)\to(0,0)}r^{w}\frac{\cos^w(\theta)\sin^w(\theta)}{\cos^w(\theta)+\sin^w(\theta)}

ed un ragionamento analogo a quello visto nel caso 0< \lambda< 3, tenendo sempre a mente la premessa fatta inizialmente, ci permette di concludere che il limite esiste per ogni valore di w>0, ossia per ogni valore di \lambda<0.
Ringraziano: Galois, CarFaby, ferdcip

Re: Limite in due variabili con parametro #78693

avt
ferdcip
Punto
Grazie!
La cosa brutta è che purtroppo la traccia viene posta in quel modo... emt

Re: Limite in due variabili con parametro #78694

avt
Omega
Amministratore
Non ne dubitavo emt in tal caso la premessa è fondamentale per dare un senso all'esercizio, quindi occhi aperti... emt

Re: Limite in due variabili con parametro #78695

avt
ferdcip
Punto
Grazie ancora!
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Os