Applicazione lineare su un sottospazio di C^infinito

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Applicazione lineare su un sottospazio di C^infinito #78522

avt
gcappellotto47
Cerchio
Salve, non riesco a capire questo esercizio su un'applicazione lineare definita su un sottospazio vettoriale di C^infinito.

Stabilire se l'applicazione F è lineare, in caso affermativo, trovare una base del nucleo e una dell'immagine; indicato con V il sottospazio di C^{\infty}(R) generato dalla funzioni \sin(x) e \cos(x), poniamo

F: V \rightarrow V,\ \ \ F: f(x) \mapsto f''(x)+f(x)

Grazie e saluti
Giovanni C.
 
 

Applicazione lineare su un sottospazio di C^infinito #78526

avt
Omega
Amministratore
Buongiorno GCappellotto47,

per cominciare diamo una faccia all'applicazione lineare considerata. emt

Abbiamo un sottospazio vettoriale V\subset C^{\infty}(\mathbb{R}) individuato mediante un sistema di generatori

V=<\{\sin(x),\cos(x)\}>

dunque per definizione V è dato da

V=\{a\sin(x)+b\cos(x)\ \mbox{al variare di }a,b\in\mathbb{R}\}

ed è un sottospazio vettoriale di dimensione 2.

Di contro, C^{\infty}(\mathbb{R}) indica lo spazio vettoriale delle funzioni derivabili con continuità infinite volte sull'intero asse reale ed è uno spazio infinito dimensionale.

Ora consideriamo l'applicazione F:

F: V \rightarrow V,\ \ \ F: f(x) \mapsto f''(x)+f(x)

prendiamo un generico vettore f(x) e calcoliamone immagine. (Nel contesto degli spazi vettoriali si chiamano vettori gli elementi dello spazio indipendentemente dalla tipologia emt)

F(f)=f''+f

Calcoliamone le derivate. Niente di impegnativo, dobbiamo solo applicare un paio di regolette elementari sul calcolo delle derivate

f(x)=a\sin(x)+b\cos(x)

f'(x)=a\cos(x)-b\sin(x)

f''(x)=-a\sin(x)-b\cos(x)

Consideriamone la somma

F(f)=(-a\sin(x)-b\cos(x))+(a\sin(x)+b\cos(x))=0

per cui l'applicazione F coincide con l'applicazione banale F: V \rightarrow V,\ F: f(x) \mapsto 0 la quale è ovviamente un'applicazione lineare con:

- nucleo \to\ Ker(F)=V

- immagine \to\ Im(F)=\{\underline{0}\} (sottospazio vettoriale banale)

Naturalmente il nucleo ha dimensione 2 e ammette come base \{\sin(x),\cos(x)\}, mentre l'immagine ha dimensione 0.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby, gcappellotto47
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